178 ANALYSE IllRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. 



ab , dass die gegebene Gerade mit einer Seite zusammenfàllt; sodann 

 wenden wir obiges Verfahren an. 



Um zu entscheiden ob die Ecke X 3 des Coordinatendreiecks ein 

 gewöhnlicher oder singulârer Punkt der Kurve sei, untersuchen 

 wir, ob die höchste Potenz, unter welcher è 3 vorkommt dem totalen 

 Grade der Gleiclmng entspricht oder niedriger ist. 



Im ersteren Falle betindet X 3 sich nicht auf der Kurve, im 

 letzeren icohl. Es ist hierbei hâufig notwendig wenigstens einen 

 Teil der gebrochenen Exponenten wegzuschaffen , daniit wir der- 

 jenigen Glieder los werden, welche beim Ration alisiren sich auf- 

 heben. Hat man entweder in der gegebenen Gleichung, oder in 

 einer von ihr abgeleiteten , festgestellt, dass der Grad in x 3 um k 

 niedriger ist als der totale, und ist der totale Grad (win -f- rn 2 ) : N, 

 so schliesst man , dass X 3 ein X'iV-facher Punkt ist. Der Faktor 

 Qfa,x.,) der höchsten Potenz von x 3 (often bar ein Polynomium k ten 

 Grades in a\ und ,r 2 ), bestimint die /■ verschiedenen Tangenten in 

 X 3 , von denen jede iV-fach zu ziihlen ist, won ach sie tatsâchlich durch 



$ N fa , Xi ) = 



dargestellt werden; d. h. X 3 ist ein £iV-facher Punkt mit h iV-fachen 

 Tangenten, deren Gesammtheit durch 



* (' r i . ^2) = o 



dargestellt wird. 



Handelt es sich um einen willkürlichen gegebenen Punkt , so 

 wird das Coordinatendreieck in der Weise trajisformirt , dass der 

 gegebene Punkt zu einer ïhrer Ecken wird, wonach die obigen 

 Regel n angewandt werden. 



Den im Vorigen dargelegten Operationen liegt der (ïedanke zu 

 Grunde, dass eine Form extremen (höchsten oder niedrigsten) Grades 

 nach Beseitigung der gebrochenen Exponenten von extremem Grade 

 bleibt. Dieses Prinzip ergiebt sich am einfachsten aus der geome- 

 trischen Deutung der Gleichung; diese ist ja unabhangig von 

 etwaigen algebraischen Umformungen. 



