182 DIE CONGRUENZEN VON w' n == c^-m w m TJND w'» w" = c»"+". 



Eine (lurch #' gelegte Ebene schneidet o>x in der Grade a, 

 welche die Kurve p in mn Punkten P trifft , deren Bilder P' auf 

 5' liegen. In dieser Ebene berinden sicli also mn Congruenzstrahlen 

 PP', oder 



der Feldgrad der narabolischen Congrncnz ist inu. 



§ 3^. 7)ct Bündelgrad und der Feldgrad der hyperbolischen Con- 

 gruenz. 



Vennöge (lb) bestimmt ein Punkt (x A , x 2 , x z , x,) m -J- n Werte 

 lur p t und m -\- n Werte für p.,, also (m -f- nf Coinbinationen 

 (/A> P-i)- Hieraus ergiebt sicli, dass ein willkiirliclier Punkt des 

 Raumes {m -j- nf Congruenzstrahlen tràgt, vvonach wir hehaupten 

 können : 



der Bündelgrad der hyperbolischen Congri/enz ist (ni -f- n)' 2 . 



Wir denken uns wieder eine Ebene , welche a> in der durch 



&«,' + &*/ + ft*; ==* o 



dargestellten Gerade b' schneidet. Dieser Gerade entspricht in w« 

 eine Kurve fo , welche die Gleichung 



m ut m 



jW" + /W" + /W~" = 

 oder 



m m >n m ut iii 



A .vr œ z " -f &a? s " < + /3 4 ^ xj> = 



hat. Machen wir dièse Gleichung rational, so wird sie vom Grade 

 2mn. Die Bildkurve /3 von b' ist daher voin Grade %nn. Die 

 genannte Ebene schneidet co x in der Gerade a, welche die Kurve 

 (3 in 2mn Punkten P trifft , deren Bilder P' sich auf b' befin- 

 den. Die Ebene enthalt also 2mn Congruenzstrahlen PP', oder 

 der Feldgrad der hyperbolischen Congruenz ist 2uiu. 



§ 4a. Die Fokalflache der parabolischen Cong?-?tenz. 

 Die Ebene 



a? 2 =j0 2 a?3 -\-p 2 n %i (6fl). 



welche den Congruenzstrahl p enthalt, geht durch X v Weiin p> 2 

 seine co 1 vielen Werte durchlàuft, umhüllt die Ebene (p , X^) 

 einen Kegel mit X^ als Spitze. 



Die Gleichung dieses Kegels erhalten wir, indeni wir die Dis- 

 kriminante der rationalisirten Gleichung (6 a) verschwinden lassen. 

 Wir fin den alsdan 11 



