DIE CONGRUENZEN VON m» = c"-"> w» UND m'" w»< = c>»+". 185 



X i als Spitzo, dessen Gleiehung sich ergiebt, indem die Diskrimi- 

 nante von (Qb) gleich Null gesetzt wird. Sie lautet somit: 



n n m'" w 2 m+n — (m -j- u)'" + " a? 3 w œ? = 0. . . {8b) 



Der durch die Ebene (p,X^ mnlriillte Kegel i^ ist daher vom 

 Grade m -\- n. 



Der Strahl p ist offenbar eine Tangente an diesem Kegel F t , 

 und gleichfalls an einem zvveiten Kegel F 2 , welcher durch 



u" m'" ,v i " l+ " — (w -f- «)"'+" «r 3 " l d? 4 n = . . . (dô) 



dargestellt wird, seine Spitze in X., hat, und auch vom Grade 

 m -f- n ist. 



Wie in § 4c/, lasst sich auch hier beweisen, dass die beiden 

 Kegel F x und F 2 von dor Klasse m -f- n sind und ziisaiunion die 

 Fokalflàche der Congruenz bilden; wir behaupten daher: 



die Fokalflàche der liyperbolischen Congruenz besteld aux zwei Kegcln 

 F\ und F.,, bez. mit \ x und X. 2 als Spitzen, cou deneu sowohl 

 der Grad wie die Klasse m -f- " ist. Die Strahlencongrttenz ist die 

 Gesammtheit der gemeinscliaftlichen Tangenten der beiden Fokalkegel 

 F x uud F 2 . 



Die beiden Kegel F { und F., schneiden sich in einem Gebilde 

 vom Grade (m -j- nf. 



Jede der m -f- n durch 



,, '" + n m + n 



angewiesenen Ebenen schneidet die beiden Kegel in derselbon Kurve 

 voni Grade m -\~ u. Der Schnitt der beiden Kegel zerfallt demnach 

 in m -\- u Plankurven vom Grade m -\- n und von der Klasse 

 ui -j- n\ diese befinden sich in den Ebenen 



,r., — t,i\ 

 vvenn 



Die Gerade X 3 X, { trifft jeden Kegel m mal in X. k und n mal 

 in A :; , wàhrend w,, in X 6 mit don beiden Kegeln m -\- n , und co £ 

 in X, mit ihnen m -\- n Punkte geinein hat. 



Es ist also X 4 ein ///-fâcher Punkt, dessen Berührungsebenen in 

 o) vereinigt sind, und X 3 ein //-fâcher Punkt, dessen sâmmtliche 

 Berührungsebenen mit o>, zusammengefallen sind. 



Der Brennpunkt V n (Rerührungspunkt mit F^) ist bestimmt durch 



