192 DIE CONGRUENZICN VON »'« = <«-»•»"' UND w'» ?o>>' =c"'+». 



X i} n(m — n) P mit X 2 . Die übrigen (m — rif Strahleii verbinden 

 P mit den m — n Pmikten E Tlll _ n und jeder von ihnen muss (in — -n)- 

 fach gezàhlt werden. 



Die Ebene w* enthalt demnacli einen n(m— »)-fachen Strahlen- 

 büschel mit X, und einen n(m — «)-fachen Strahlenbüschel mit X 2 

 als Schei tel, wàhrend sie ausserdem noch m — n Strahlenbüschel 

 enthalt, von denen jeder einen der Punkte FJ TlH _ u als Scheitel hat 

 und (m — /?)-fach zu zahlen ist 



Die obigen Betrachtungen zusammenfassend, können wir folgendes 

 behaupten : 



Die parabolische Congruenz liât als siugulàre Ebenen: 



1°. jede Ebene (p, X x ) mid (p, X>) mit einem S Irakien gebilde von 

 der Klasse m; 



2°. jede der Ebenen E Tlll _ n mil einem Strahlen gebilde von der 

 Klasse ni; 



3°. die Ebene co x mit n(m — ?i)-fachen Strahlenbüscheln in X x und 

 X 2 und (m — n)-fachen Strahlenbüscheln in jedem der m — n Punkte 

 F 



Ihre singulâreii Punkte sind 



1°. X^ und X 2 mit n(m — n)-fachen Strahlenbüscheln in a>» ; 



2°. die m — n Punkte E rm _ n mit (m — ri)-fachen Strahlenbüscheln in (o œ . 



§ 5/5. Die singularen Elementen der hyperbolischen Congruenz. 



Singular ist: 



1°. jede Ebene, welche einen Congruenzstrahl p mit einem der 

 Punkte X { oder X, verbindet, daher durch eine der Gleichungen 

 (6 b) dargestellt wird, eine solche Ebene, z.B. (p, À".,), schneidet den 

 Fokalkegel F., in einer Kurve, deren Grad und Klasse beide m -j- n 

 sind; weil die Ebene (p, X,) den Fokalkegel F^ berührt, sind aile 

 Tangenten jener Kurve als Congrnenzstrahlen zu betrachten; die 

 Ebene (p, X x ) enthalt somit ein Strahlen gebilde von der Klasse m -\- n ; 



2°. iede der Ebenen s T , welche durch 



» m + u 



„, m + n „ m + n 



cC-t ton 



bestimmt sind; in jeder dieser Ebenen liegt ja eine Kurve, deren 

 Grad und Klasse beide m -\- n sind ; dièse Kurve betindet sich auf 

 den beiden Fokalkegeln, wonach ihre Tangenten als Congruenz- 

 strahlen zu betrachten sind ; es enthalt demnach jede der Ebenen 

 (t'" + " = 1) ein Strahlengebilde von der Klasse m~\-n: 



T m + n K m + n ' ° ' ' 



3°. die Ebenen w« und o) Q . Wie in § 5« wollen wir auch hier 

 die Natur der Sinenlaritât nachher erörtern. 



