198 DIE CONGRUENZEN VON w' n = cP- m w m UND w' n w m = c m + n . 



Die Ebene w dagegen trâgt einen mn-fachen Strahlenbüschel mit 

 X x , einen w/z-fachen Strahlenbüschel mit X, und einen » 2 -fachen 

 Strahlenbüschel mit X 4 als Scheitel. 



Das Obige kurz zusammenfassend, kommen wir also zu dem fol- 

 genden Résultat: 



Die hyperbolische Congruenz hat als Singulare Ebenen : 



1°. jede Ebene (p , XJ und (p , X 2 ) mit einem Strahlengebilde 

 von der Klasse ni + u ; 



2°. jede der Ebenen e T mit einem Strahlengebilde von der 



Klasse m + u ; 



3°. die Ebene w* mit mu-facheu Strahlenbüscheln in X i und X 2 

 und mit einem mr-fachen Strahlenbüschel in X 3 ; 



4°. die Ebene w mit mn-fachen Strahlenbüscheln in X 1 und X 2 

 und mit einem vP-fachen Strahlenbüschel in X 4 . 



Ihre singularen Puukte sind 



1°. X x und X 2 , jede mit mn-fachen Strahlenbüscheln in (o x 

 und (o ; 



2°. X 3 mit einem m\facheu Strahlenbüschel in co x ; 



3°. X 4 mit einem w-fachen Strahlenbüschel in co . 



§ Gö. Die axiale Regelflache einer durchaus willkür lichen Gerade 

 in der parabolischen Congruenz. 



Wir wollen die Axe der Regelflache mit /, ihre Spur in co*, mit 

 A , ihre Spnr in û> mit B' bezeiclmen. 



Jeder Pimkt von / trâgt ni 1 Congruenzstrahlen ; die Gerade / ist 

 demnach eine m 2 -fache Gerade au f ihrer axialen Regelflache. 



Jede durch / gelegte Ebene enthalt noch tan Strahlen ; sie hat 

 also mit der axialen Regelflache diese mn Geraden und ausserdem 

 noch die w 2 -faclie Gerade / gemein ; der Gesamnitschnitt ist deshalb 

 vom Grade m' 2 -f- mn = m (m -\- n), wonach wir zu diesem Schlusse 

 ge langen : 



Der Grad der axialen Regelflache einer willkürlichen Gerade in 

 der parabolischen Congruenz ist m(m + n), 



Die Punkte A und B' werden bez. durch 



X\ x 2 a 



A . . . . — = a ± , — = a.,, a? 4 = U, 



x 3 x 6 



B' . . . . — = £/, — = b,' , x 3 = 



x k x k 



bestimmt. 



