220 DIE CONGRUENZEN VON w'n = c"-™w m UND to'" w"> = c"'+". 



foVM. — («"Or- M, = (73) 



In dieser Gleichung können die Indices p und 3 einander gleich 

 sein, ebenso die q und r. 



Ansserdem kann p = q, oder p = r,, oder q = s, oder 

 ?• = 6- sein. 



Die Falle p = r und q = s mussen bier abgesondert werden. 

 Denn jö = r bedeutet, dass die beiden Strahlen p und jö,. g in 

 derselben durch CX 2 gelegten Ebene liegen. Die Bedingung (73) 

 fordert alsdann (tt 2 ) s = (t 2 ) , weshalb die Strahlen gleichfalls in der 

 selben durch GX X gelegten Ebene liegen. In diesem Falie sind die 

 beiden Strahlen also identisch und hiervon ist nicht die H ede. 

 Ebenso würde q = s die beiden Strahlen zur Coincidenz bringen. 



Weil die Wurzeln von (67») im Allgemeinen von denjenigen 

 von (69«) verschieden sein, so haben die Beziehungen p = s, oder 

 q = r, oder p — q , oder r = s keinen Einfluss auf die folgenden 

 Betrachtungen. 



Wenn wir alle Combinationen (73) ins Auge fassen, so làsst 

 sich die Bedingung, dass C ein Punkt der Doppelkurve sei, aus- 

 drücken, indem das Produkt aller Formen (îr d ) p (t 2 ) s — (T i ) l . (7r 2 ) (/ 

 gleich Null gesetzt wird. Dieses Produkt ist eine symmetrische 

 Funktion der Wurzeln von (67a) und (07$), daher auch eine 

 Funktion der Coetticienten dieser Gleichungen , welche ausser a x , 

 fl 2 , b\ und b 2 ' den Parameter \x enthalten, der die durch X l3 X 2 

 und C gelegte Ebene bestimmt. 



Die Gleichung 



n [M P (t 2 ), — fa), (t 2 ) (/ ) = o 



kann also umgestaltet werden in eine Gleichung 



welche die Werte des Parameters /z fur die Ebenen x 6 = fix k liefert, 

 welche auf / einen Punkt der Doppelkurve einschneiden. 



Weil die Umformung einer symmetrischen Funktion der Wurzeln 

 zvveier Gleichungen in eine Funktion der Coëfficiënten nur bei 

 kleinen Werten von m und n zu leidlichen Rechnungen Veran- 

 lassung giebt, wobei das Gelingen der Operationen überdies fast 

 ganz und gar von einem Kniffe abhangt, so werden wir hierunter 

 eine Methode geben, welche zwar etwas utnstandlicher ist, dafür 

 aber weniger Kunstgriffe fordert. 



