DIE CONGRUENZEN VON w'« = &<->» w> UND ,o'>< w>" =c>"+>'. 223 



in die gleichwertige Bedingung (fl"i) r . (t 2 ),j — {t^) p . (r 2 ) s = trans- 

 form iren. 



Der Ausdruck F{;x) ist alsdann die Quadratwurzel ans der 

 ursprünglichen Diskriminante. 



Da die Grosse [/. in ziemlich verwickelter Weise in den Coëffi- 

 ciënten von fii^i) und / 2 (t 2 ) auftritt, so dürfte es schwer sein im 

 allgemeinen Falle den Grad von I \ja) , qPi(/u) und qp 2 (^) zu. bestim- 

 men. Wir werden daher den Grad von ip (/-*) nicht berechnen, 

 sondern ilm nur mit N bezeichnen. 



Es liegen auf / also N Punkte der Doppelknrve. 



Diese Kurve schneidet ansserdem eine (lurch / gelegte Ebene 

 ausserhalb / in mn(mn — 1) : 2 Punkten. 



Der Grad der Doppelkurve ist denmach 



mn{mn — 1) 

 ' 2 



Es ist klar, dass die Doppelkurve die singularen Punkte X^,X. 2 



und E T (1er Regelflache enthalt. 



,,i—n ° 



Die Schnittkurve der axialen Regelflache mit einer (lurch X ± X 2 

 gelegten Ebene co lx (a? 3 = f/.sc, t ) hat 



in X x einen /////-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m ver- 

 einigt sind in einer der n Geraden , in welchen die Ebene co^ dnrch 

 die n Ebenen (4ö#) geschnitten wird ; 



in X 2 ebenfalls einen »m-fachen Punkt, dessen Tangenten die 

 Sparen der n Ebenen (45#) in der Ebene co lz sind; 



in iedem der Punkte E T einen «-fachen Punkt, dessen Tan- 



in-ii 



genten alle in X i X 2 vereinigt sind (ausgenommen jjl = co ); 



im Schnittpunkte C fJi von / mit (o^ einen ?« 2 -fachen Punkt, des- 

 sen Tangenten durch die nach C fi zielenden Congruenzstrahlen be- 

 stimmt werden ; 



Doppelpunkte an den Stellen, wo w (i die Doppelkurve trifft. 



§ (Sb. Die axiale Begeljlàclie einer durchaus will kür lichen Gerade 

 in der Iiyperbolischen Congruenz. 



Wie in § Qa wird die Axe der Regelflache mit /, ihre Spur in 

 ö>qo mit A , ihr Schnittpunkt in o) mit B' bezeichnet. 



Es gehen jetzt durch jeden Paukt von / {in -f- u)' 2 Congruenz- 

 strahlen, wo nach / eine {m-\-nf-facl/e Gerade auf ihrer axialen 

 Regelflache ist. 



In jeder durch / gelegten Ebene befinden sich noch %mn Strahlen. 

 Eine solche Ebene hat also mit der axialen Regelflache diese 2mn 



