230 DIE CONGRUENZEN VON w'" = c>-»< w»< UND w'« id™ = c™+». 

 « a\'" — a 2 " œ.™)" = 0. 



Der Punkt X 3 erscheint demnach als ein /««-fâcher Punkt, von 



dessen Tangenten je n in einer der m Geraden 



x^ /* 



o'" ^ 



vereinigt sind 



O' 



Es sind diese, wie leicht ersichtlich , die m Bildcr der in w 

 befindlichen Gerade 



j 



welche mit X 3 A die Gerade X 1 X 2 im nârnlichen Punkte A 3 sclmei- 



det, also mit X k A 3 identisch ist. Daher: 



Die in co* Heffende A// ree hat in X 3 einen mn-fachen Ptmkt , 

 von dessen Tangenten je o vereinifft sind in einer der m Bilder der 

 Gerade X^A*, welche X 4 mit de/n Schuit tpunlcte A 3 von X^X % und 

 X 3 A verbindet. 



Hiermit beendigen wir die Untersnchnng der Schnittkurve mit a) x . 



Wahrend wir in der parabolisch en Congruenz die Knrve in o» 

 besonders zn erforschen batten, so genügt es hier zn bemerken, 

 dass die Ebenen (o x nnd co fast ganzlich als gleiehwertig zn be- 

 trachten sind, wenn wir uur in den obigen Resultaten m mit n, 

 A mit B' und X 3 mit X, vertauschen. 



Es giebt aber einen Unterschied , und zvvar dort, wo wir die 

 Ungleichheit m > n betont ha ben. Dies war der Fall bei der Erle- 

 digung der Beschaffenheit von B,[. 



Zuerst wollen wir bemerken, dass die Kurve in co {) zum voll- 

 stândigen Schnitt ergànzt wird durch die Geraden X ± JB' und X 2 B' 

 welche beide n/n-fach. zu /ahlen sind und durch die « 2 -fach zu 

 rechnende Gerade X :i B'. 



Aus diesem Lctzteren geht hervor, dass auch der Schnittpunkt 

 Bi von X A B' mit X ± X 2 ein «Mâcher Punkt des Gesammtschnittes 

 ist. Da Bi auch ein « 2 -facher Punkt des in oi w befindlichen Ge- 

 samnitschnittes war, so ist B, t ' kein Punkt der Kurve in a) . 



In et»» war dagegen A- A , der Schnittpunkt von X ± X 2 mit der 

 w' 2 -fachen Gerade X S A, ein >« 2 -facher Punkt des Gesammtschnittes. 

 Es wird deshalb die Gerade X t X 2 mit der Kurve in o) «r-mal 

 den Punkt A 3 ge in ein haben. 



Wir wollen uns nunmehr besonders mit diesem Punkt ^ 3 beschaftigen. 



