23G DIE CONGRUENZEN VON w'» = c»-»> w>" UND m'" w" = c»<+». 



ft" = o 

 und 



W«i— «J+ftCV— Ol^"— (— IHTtâ^i— a.Ay nhn =0. {606) 



Die Gleichung /a,/" = weist ;;/ mal den Punkt X 3 , die Glei- 

 chung ^3" = 11 mal den Punkt X 4 an. 



Dagegen bestimmt die Gleichung ((50/5) m-\-n Punkte X^ auf 

 X 3 X 4 , denen Congruenzstrahlen entstammen, welche / selmeiden, 

 also m. -f- n Punkte der axiaien Regelflache von /. 



Da jeder Punkt X, x m-\-n Strahlen ' der Regelflache tragt, so 

 ist er ein (in -f- »)-facher Punkt. 



Es liegen daher auf X 3 X 4 , ausserhalb X 3 undX 4 , m-\-n (m -f-»)- 

 fache Pnnkte, welche durch (603) gegeben sind. 



Wenn man einen der aus (603) folgenden Werte /x 3 : ^ in die 

 Gleichung (583) (oder (593)) einsetzt, so mulet man m-\-n Werte 

 für x A : x h , welche die Punkte auf / anweisen, wo die dem X (i 

 entstammenden Congruenzstrahlen / schneiden. 



Die Punkte X 3 und X 4 sind nicht (;;/ -f- rc)-fache, sondera mn- 

 fache Punkte der Regelflache. Die Gerade X 3 X 4 hat ja mit (1er 

 Regelflache (m-\-rif-\- 2mn Punkte gemein von denen (m -\- rif 

 sich in den m -\- n (m -\- «)-fachen Punkten X M betinden , wahrend 

 die iibrigen 2mn in X 3 und X 4 liegen, also mn in X 3 und mn in X 4 . 

 Die Punkte X 3 und X 4 sind daher »m-fache. 



Wir wollen nun die Congruenzstrahlen studiren, welche der 

 Niihe von X 3 entstammen. 



Ein Congruenzstrahl, Avelcher nahe bei X 3 verlauft, wird in der 

 Nàhe der Ebene <o x bleiben; wenn er ausserdem / schneiden sol], 

 so muss er beinahe mit der Gerade X 3 A coincidiren. Er wird 

 alsdann <o Q treffen in der Nahe von A- A , dem Schnittpunkte von 

 X 3 A mit X,X 2 . 



Die Congruenzstrahlen aber, welche nahe an A 3 ausmünden, 

 also (o in der Nahe von X 4 ^ 3 schneiden, werden co x treffen in 

 Punkten, welche auf den Bildern von X k A- A liegen, m. a. W. : die 

 Punkte P in der Nahe von X 3 , die Strahlen tragen, welche # (o 

 nahe an A A durchbohren, mussen auf denjenigen Geraden X 3 P 

 liegen, deren Richtungen derjenigen von X ti A A zugeordnet sind. 

 Wir gelangen somit zu der Einsicht, dass die zu X 3 benachbarten 

 Punkte der Kurve in co x sich auf den ;;/ Bildern von X^A 3 be- 

 finden mussen, oder auch: von den mn Tangenten in X 3 an der 

 Kurve in w» sind je n vereinigt in cinem der m Rilder von X 4 ^ 3 . 



