248 DIE CONGRUENZEN VON w'» = c»-'"w"< UND m'» w»< = c>»+». 



Veranlassung geben , ni. mit den Fallen , wo / entweder X 3 oder 

 X 4 enthalt. 



Zuerst betrachten wir den Fall, wo / durch X 3 hindurchgeht. 



Die Strahlen p, welche ans einem Punkte P' (Pi,pJ) von û> 

 entstanimen, schneiden û) x in m 1 Punkten P, welche durch 



n n 



lh =Pi'"' > P-2 = lh'" 



gegeben sind. Die Coördinaten p A und p 2 sind also beide w-deutig. 

 Wenn wir einen der m Werte von p i mit q v und einen der m 

 Werte von p 2 mit q 2 bezeichnen und zwei ?M te -Wurzeln der Ein- 

 heit durch r m und r„,' anweisen, so haben Avir 



P\ = f m Ci ' Pi = 



wonach 



Pi 



Î1 



Es geschieht m mal, class r ll ' = r lil ; daher liegen jedesmal m 

 Bilder P von P' in einer Gerade mit X 3 . 



Eine durch / (X 3 B') gelegte 

 Ebene wird zwei Congruenzstrah- 

 len p und q enthalten , wenn ihre 

 Spuren P und Q in o) x in einer 

 Gerade liegen mit der Spur X 3 

 von / in co x . Durch die Spur P' 

 von /; in w gehen nun m Con- 

 gruenzstrahlen deren Spuren P , 

 Q. . . . mit X 3 allineirt sind. 



Wenn also / in der Ebene (X 3 , p) 

 liegt , so liegt / auch in der Ebene 

 (X 3 , q) u. s. w. ; die Ebene, welche 

 / mit P' verbindet , enthalt dem- 

 nach m sich in P' treffende Con- 

 gruenzstrahlen. 



Wir ziehen den Schluss, dass in jedem Punkte des Schnittes der 

 axialen Regelflâche mit co m Erzeugenden dieser Regelflache zu- 

 sammentrefFen , wonach der Schnitt in w eine m-fac/te Kurve ist. 

 Der Schnitt in co {) , welcher im allgemeinen Falle eine Kurve vom 

 Grade m (m -\- n) war , ist jetzt eine w/-fache Kurve vom Grade m ~\- n. 

 Überdies leuchtet ein , dass die Ordnung jeder Singularitàt w-fach 

 erniedrigt ist. Es ist also jetzt X 4 ein ^-fâcher Punkt, dessen 



Fig. 11. 



