DIE CONGRUENZEN VON pj" = c"-"< W» UND w'» w» = o>»+>>. 253 



Es ist, wie im allgeineinen Falle, X 3 ein w^-facher Punkt, von 

 dessen Tangenten je n in einem (1er m Bilder von X i A z ^X i B' 

 vereinigt sind. 



Die Kurve schneidet auch die Gerade X X X. 2 , ausserhalb X i und 

 A" 2 , n 2 mal in 7$l = A z , wàhrend die Tangente AB, t ' = X Z A in 

 j? 4 ' inn Pnnkte mit der Kurve gemein hat. 



Ausser dem Zusammenfallen von B, t ' mit A z finden wir also im 

 Schnitte von <y» keine Abweichungen vom allgeineinen Falle. 



Der Schnitt in co wird (siehe (40b), S. 231) durch 



fa — hi *&?*? — fa — tô/^W W' — at (tail — a? 2 )iV' V =0 (850) 



dargestellt. Der Punkt A z = _Z? 4 ' ist ein wwz-facher ; seine sammtlichen 

 Tangenten sind in A.,A 2 vereinigt; es hat A,,A 2 mit der Kurve 

 vr Punkte gemein. 



Die m-\-n (lurch (60b) (S. 236) bestimmten Schnittpunkte von 

 A 3 A 4 mit der Regelrlache sind nun alle im Punkte 8 



fa — ■ <z 2 )#3 -J- (b{ — b., ')a? 4 = > 



wo / die Gerade A 3 A 4 schneidet, zusammengefallen. 



Die Flache hat also in S (m -{-rif Punkte mit X 3 X, t gemein. 



Auf der Flàche ist A Z = BÎ ein n(m-\-VL)-facIter Punkt; von den 

 mil -f- n 2 Berührungsebenen , in welche die Tangentenkegel ausgeartet 

 ist, fallen mu mit co x und n 2 mit(X k ,T), d. h. (x. 2 = tx.^), zusammen. 

 Die Gerade A,A 2 hat in A A = Bl mit der Flàche m 2 + n 2 Bunk te 

 gemein. Es schneidet A 3 X 4 die Flache (ui + n ) 2 ma I im Schnittpunkte 

 S von I. 



Der Schnitt mit einer (lurch X ± X 2 gelegten Ebene co [JL hat nun 

 auch in A z = Bl einen n(m -j- »)-fachen Punkt, von dessen Tan- 

 genten uni mit X { X. 2 zusammengefallen sind und ir mit (1er Gerade, 

 welche ^ 3 = Z? 4 ' verbindet mit dem Punkte C ti , wo / die Ebene 

 o) (i trifft. Nur in to*, liegt die Sache anders : dort ist nâmlich 

 X 3 ^ = A 3 ^ 3 ein wr-faches Ausartungsgebilde , aber zugleich die 

 einzige Tangente im ?r-fachen Punkte A i ^B i '. 



Dass die neuen Eigenschaften bei der hyperbolisch en Congruenz 

 nicht dieselbe Bedeutung haben als diejenigen bei der parabolischen, 

 verdankt man dem Umstande , dass in der hgperbolischen Congruenz 

 die Gerade X 3 X k nicht, wie in der parabolischen, Congruenzstrahl ist. 



Betrachten wir jetzt den Fall, wo / den Punkt A 3 enthalt. 



Es ist nun jede Gerade in a>», welche A 3 triigt, ein Congruenz- 

 strahl, welcher / schneidet. 



