254 DIE CONGRUENZEN VON w'« = c »-»"w<" UND w'» w»< =c>"+». 



Wir ersahen früher , class jeder Strahl , wel cher einen in w» lie- 

 genden Punkt mit X 3 verbindet, ein «Afacher Strahl ist. 



Dies ist aber nur der Fall , wenn diese Gerade als ein durch 

 den ausserhalb X 3 liegenden Punkt hindurchgehender Strahl be- 

 trachtet wird. 



Wir sind dagegen auch zu der Einsicht gelangt , dass X 3 mn 

 Strahlen tragi, welche eine willkiirliche Gerade / in A schneiden 

 (wonach u. a. sowohl A" 3 wie A 3 m»-fache Punkte auf der axialen 

 Regelflache der willkürlichen Gerade sind). 



Wir sind also gezwungen jeden Strahl , welcher in a>» Uegt und 

 A' 3 enthdlt , wenn er als ein durch X 3 gehender Strahl betrachtet 

 loird, nur mn-fach zu zàhlen. 



Ebenso muss jeder in w liegende X 4 enthaltende Strahl, als Strahl 

 durch X 4 betrachtet, immer mu-fach gerechnet werden. 



Aus diesen Überlegungen geht nun unmittelbar hervor , dass von 

 der betrachteten Regelflache die Ebene cox> mn mal abgesondert 

 wird ; es bleibt also eine Flàche vom Grade (m -\-rif -\- 2wn — mn = 

 = (m -j- rif -\- mn. 



Auf der Restflache sind nun X d unci X 2 w^-fache Punkte. 



Hire Berührungsebenen sind hier nur durch die Gleichungen 

 (45'6) unci (A-Q'b) bestimmt. 



Die Flsiche schneidet jetzt die Gerade X 3 X 4 mn mal in X 4 unci 

 (m -j- rif mal in X 3 . 



Auch hier (wie in der parabolischen Congruenz) ist die Kurve 

 in oj eine w-fache. 



Der Gesammtschnitt in a> enthâlt mn mal die Gerade B'X i} 

 mn mal die Gerade B'X 2 , n 2 mal die Gerade B' A' 4 nnd schliess- 

 lich noch ein Gebilde vom Grade (m -f- rif -{- mn — %mn — n 2 = 

 = m(m-\-ri), welches offenbar eine w/-fache Kurve vom Grade 

 vi -f- n ist. 



Indem wir in (856) a ± = und a 2 = substituiren , finden wir, 

 nach Teil un g durch a? 4 , 



n n 



(a?! — ($.,' a? 4 ) x™ — {x 2 — b 2 a? 4 ) œ™ = , 

 oder 



(w i — o ± 'œà m œ ± n --fa--6i'*à m iB a n ==0. . . (936) 



Die Schnittpunkte dieser Kurve vom Grade m -j- n mit X X X 2 

 sind durch 



œ m+n _ œ m+n _ q 



bestimmt, oder, wenn wir r'^tH = 1 setzen, durch 



