256 DIE CONGRUENZEN VON to'» = c»->» w»> UND w'» w»> =c»'+>K 



bestimmte Tangenten, in Gruppen von n mit denjenigen Geraden 

 zusammenfallen, welche X, mit den m-\~n Punkten E r verbin- 



den. Da a? 2 = T m + n <Vi einen Faktor a? 2 n absondert, so hat jede 

 Tangente in X 3 n(2m-\-n) Punkte, also ausserhalb X 3 keinen Punkt 

 mit der Kurve gemein. 



Die Kurve wird zum vollstândigen Schnitte in co œ erganzt durch 

 m mal die m~\-n in X- 3 an die Kurve in w» gelegten Tangenten. 



Zum Schluss den Fall, wo / den Punkt X 4 enthâlt , betrachtend, 

 bemerken wir, dass die Ebene co mn mal abgesondert wird. Wir 

 erübrigen wiederum eine ï'lache vom Grade (m -\- nf -\- mn. Die 

 Punkte X x und X 2 sind nun w^-fache. Von den Beriihrungsebenen 

 sind je m in einer der n Ebenen (453) bez. (46(5) vereinigt. 



Der Schnitt in oj x besteht aus mn mal AX t , mn mal AX 2 , m 1 

 mal AX 3 und aus eineni Gebilde vom Grade ?i(m -j- n), welches 

 aus einer «-fachen Kurve vom Grade m -\- n besteht. 



Die Substitution 3 1 ' = 0, b 2 = liefert in der Gleichung (833), 

 nach Teilung durch x 3 , 



(x t — a x a? 3 ) œ± n — (x 2 — #2 œ i) x <i l = , 

 oder 



(a.\ — a^v-s)"^" — 2 — a 2 x 3 )"x 2 "' = 0. . . (9 3'*) 



Die Eigenschaften dieser Kurve sind denen der Kurve (933) 

 analog. 



Der Schnitt in w enthâlt eine Kurve vom Grade m 2 -\-2mn, 

 deren Gleichung lautet : 



(x t '" — x 2 m ) a? 4 m — {a 2 x x — a x x. 2 ) œ t m x 2 m = . (9Gb') 



Diese Kurve entspricht volkommen der Kurve (963) in Wœ. 

 Der Schnitt enthâlt noch die m -f - « i 11 -Ï4 an dieser Kurve ge- 

 legten Tangenten, jede «-fach gezâhlt. 



§ 8a. Die axiale Regelflache einer \ { X 2 schneideuden Gerade in 

 der parabolischen Congruenz. 



Die axiale Regelflache einer Gerade l fl> welche X A X 2 schneidet, 

 hat denselben Grad wie die axiale Regelflache einer durchaus will- 

 kürlichen Gerade. Da X i X 2 ein Congruenzstrahl ist, so wird diese 

 Gerade jetzt der Regelflache angehören und auf ihr eine vielfache 

 Gerade sein. 



