DIE CONGRUENZEN VON w'« = o«-m w™ UND «>'* »»i = c>»+». 261 



Diese Kurve ist offenbar aus w/ nach X t convergirenden w-fach 

 zu zâhlenden Geraden zusammengesetzt. Diese Resultate vviirden sich 

 audi in folgender (rein geometrischen) Weise ergeben haben. 



Die durch X i gehende Gerade tragt m Berührungsebenen an dein 

 Fokalkegel F { , von denen jede ein Strahlengebilde m Uv Klasse von 

 Congrnenzstrahlen enthâlt. Diese m Ebenen bilden also zusammen 

 eine axiale Regelrlache vom Grade »r. 



Ausserdeni ist jede in w* durch A', gelegte Gerade ein Con- 

 gruenzstrahl. 



Indem wir eine Gerade PX, in co x als einen durch P gehenden 

 Congruenzstrahl betrachten, ist sie n{m — «)-fach zu zahlen (Siehe 

 S. 11)1). Wenn wir nun P langs PX l sich X A nâhern lassen, so 

 werden die n 2 Bil der P' in o» auch Xj naher kommen; es werden 

 die ti 1 Strahlen, die P mit seinen in ûj befindlichen Bildern P' 

 verbinden, schliesslich ebenfalls in A, ausmiinden; es folgt somit, 

 dass der St raid PI', , als Strahl in co x (lurch A', betrachtet, 

 n (in — n) -f- nr = mn-îacla zu zahlen ist. 



Wir sind demnach zu der Einsicht gelangt, dass ein Strahl PX { 

 in w» , als Strahl (lurch X, betrachtet, mn-fac/i zu rechnen inf. 



Die Ebene co x ist deshalb ein Bestandteil voni Grade ran der 

 axialen Regelflache einer durch X, gehenden Gerade. 



Der totale Grad dieser axialen Regelflache ist somit nr - - mn = 

 vi (m -\-n). 



Der Schnitt in einer durch A', X 2 gelegten Ebene enthâlt auch 

 die Gerade A', X 2 als eine w^-fache Gerade, und ausserdeni die m 

 ■;//-fachen durch AT, gehenden Geraden, in denen diese Ebene durch 

 die /// Berührungsebenen an dem Fokalkegel F x geschnitten wild. 



Indem wir die durch X, gehende Gerade durch die Gleichungen 



c2?2 <Kl > 



darstellen, mussen die Coördinaten des Punktes Y, welchem die 

 Congruenzstrahl en entstaminen (siehe S. 212, 213), den Bedingungen 



lice, -f cc k 



*h = — n> 



genügen, wonach die Gleichung (54y/) (S. 213) diese Form bekommt: 



' (- ^±^ „ - 4 = (m + ^±^ ,-S (« - ,</' " " 



