266 DIE CONGRUENZEN VON to'» = c»-»' w>" UND w''< w>" — c>»+ n . 



Nâhe von L lJL derart, dass die Gerade , welche diese Schnittpunkte 

 mit Lu vei'bindet, mit der Spur dieser Ebene in der Ebene (X 4 , l fX ) 

 zusammenfàllt. Eine solche durch X 1 X 2 gelegte Ebene trâgt somit 

 eine Kurve, welche in L lz einen vielfachen Punkt besitzt, von dem 

 n' Zweige durch die Spur der Ebene (X 4 , l tJ ) berührt werden. Ebenso 

 werden nr Zweige durch die Spur der Ebene (X :i ,l (J ) berührt. 

 Schliesslich werden 2mn Zweige durch die Gerade X i X 2 berührt. 



Wir haben also f ol gendes : 



Die axiale liegeljiàclie einer \ x X 2 in L {J , schiieideudeu Gerade lp 

 hat in X t und X 2 'Imn-fache Punk te , deren mil Berührungsebenen 

 mit w x und ran mit to zusammenf allen. Sie hat in L IJL einen (m-f-u) 2 - 

 fachen Punkt, von dem var Berührungsebenen vereinigt sind in (X 3> 1 (J ), 

 n 2 in (X 4 , l tJ ) und 2mu in der Ebene co lJL (a? 3 = \ix^). Schliesslich sind 

 X 3 und X k beide mn-fache Punhte , deren Verhalten nicht von dem 

 im allgemeinen Falie abweicht. 



Betrachten wir jetzt besonders den Fall, wo l^ durch X, geht. 



Die durch X i gelegte Gerade trâgt m -\~ n Berührungsebenen an dem 

 Fokalkegel F ± . Weil von diesen jede ein (ui -f- «)-faches Strahlen- 

 gebilde enthalt, so gelangen wir zu einer Flache voin Grade (m-\-nf. 



Ua jeder Strahl durch X Y in o> x ein w^-facher ist (auch wenn 

 er als Strahl durch X 4 betrachtet wird), so mussen die Ebenen co x 

 und o) beide als ein Bestandteil vom Grade mn angesehen werden. 



In dieser Weise bekommen wir für den Gesammtgrad (m-\-rif-\- 

 -f- 2/////. 



Stellen wir die durch Xj gehende Gerade durch 



«2^2 -J- « 3 # 3 -\- ct k x k = 0, | 

 «3 = ^a?4» f 



oder 



x. 



%A = l^k 



!^a + 



a, 



a. 2 



dar, so haben die Coördinaten des Sammelpunktes ^(Siehe S. 233, 

 234) den Bedingungen 



<y 2 = 

 y* = m 



V-&A "f" «4 



CC.y 



Vk> 



zu genügen, wonach die Gleichung (54b) (S. 234) diese Gestallt 

 annimmt : 



