268 DIE CONGRUENZEN VON » , «=.c»-«»'« UND w'" w™ = c m + n . 



die Kurve jetzt audi den Punkt X 3 enthalt und sogar an dieser 

 Stelle einen » 2 -fachen Punkt besitzt , dessen sammtliche Tangenten 



7 D 



mit X 3 L lA zusam mentallen; es hat dièse Tangente in X 3 van Punkte 

 mit der Kurve gemein. 



Die in <y liegende Kurve besteht nun , ausser der w^-fachen 

 Gerade X X X.±, aus der folgenden Kurve vom Grade vr : 



cc x d\ 4- tz. 2 x 2 -\~ \*{tx^x™ -\- ât 2 a? 2 w )^4 "' =0. . (lüööf) 



Diese Kurve hat, in Bezug auf die Kurve auf S. 259, die neue 

 Eigenschaft, dass sie A 4 enthalt und sogar in X i einen vm-fachen 

 Punkt hat , dessen Tangenten durch 



<2q,/'l"' -\- tX,.,X.ï n = 



angewiesen , und daher mit den n (w-fach zu zàhlenden) Bildern 

 von X 3 L {JL identisch sind. 



Die axiale Regelflâche hat dieselben Eigenschaften wie die Flàche 

 von § Sa. Es ist iiberdies X i X i eine ;r-fache Gerade, deren Be- 

 rührungsebenen alle vereinigt sind in der Ebene, vvelche X 3 X 4 mit 

 l ti verbindet. Nur in w ist X i ein wm-facher Punkt , von dessen 

 Tangenten je m in einem der « Bilder von X 3 L (J . vereinigt sind. In 

 der durch l lJL und X ± X 2 gelegten Ebene liegt l lÂ als eine wr-faclie 

 Gerade. Ihr Schnittpunkt S—X^ mit X 3 X k ist denn auch ein 

 w 2 -facher Punkt. 



§ db. Die axiale liegeljiàche einer sowohl X 3 X 4 wie X, X, schuei- 

 deudeu Gerade, in der hyperbolische» Congruenz. 



Auch hier haben wir nur die Ergebnisse von § 1b und § 8b zu 

 vereinigen. 



Da l^ jetzt A~ 3 A" 4 schneidet, so ist 



,u« 3 -f <* 4 = Ü. 

 Die in w* liegende Kurve wird nun durch 



m m + )i m ni + „ m m 



cc 2 œ l " a? 3 " -f- cc { ,r 2 " a? 3 " -f- /x (^ x x -\~ <z 2 œ 2 ) x x " a? 2 " = (10 -ib) 



dargestellt. 



Das einzige Neue ist hier, dass die Tangente im Punkte L lJL 

 diesen Punkt mit X 3 verbindet. 



Im Übrigen weicht diese Regelrliiche in keiner wesentlicken 

 Hinsicht von der Flàche von § Sb ab. 



