DIE CONGRUENZEN VON w'" = c>->>< w»< UND ,„'" w" = c" l +'K 271 



(m — ?z)-fachen Geraden AE r (t,„_„ ^ 1), weshalb der totale Grad 



n(m -\-n — 1 ) -\- 2u {in — n) -\- {m — n) {m — n — 1 ) = m {m -\-n — 1 ) ist. 



Da n Zweige im Punkte A der urspri'mglichen Kurve in A E = X. A E 

 vereinigt sind, so bleiben für die hier betrachtete Kurve in o>* 

 n 2 — n = n{n — 1) Zweige übrig. Der Piinkt A ist also ein n{n — 1)- 

 facher Punkt. 



Es fand sich dass X 3 , falls /die Gerade XjX 4 schneidet, ein ?r-facher 

 Punkt ist, dessen sàmmtliche Tangenten mit X ?> A zusainmenfallen. 



Im vorliegenden Fall, \vo A sich auf X A E befindet, sind von 

 den n 2 Zweigen n in X Z E vereinigt, wonach X 3 auf der Restkurve 

 ein n{n- — l)-facher Punkt ist, dessen Tangenten alle X 3 mit A 

 (oder E) verbinden. 



Der Punkt E gehort jetzt der Kurve nicht an. 



Ubrigens können wir, in Bezug auf dièse Kurve in o) x , auf die 

 Resultaten von S. 203 u. f. hinweisen. 



Der Schnitt in oj hat jetzt (siehe (40«), S. 207) die Gleichung 



i 2 & -f ô'ftr - à & -f ne + a(ç 4 - & tr = o. (ii2«) 



Von dieser Gleichung làsst sich zeigen, dass ihre rationalisirte 

 Form den Faktor (^ — £>)'" enthalt, wonach geschlossen wird, dass 

 der Schnitt in w aus m mal der Gerade X i E{^B'E) und aus 

 einer Kurve vom Grade m{m~\-n — 1) bestelit. 



Es erhellt, dass die w-fache Gerade X, t E der w-fachen Ebene e 

 angehört, welche von der allgemeinen Regelrlache abgesondert ist. 

 Die Restflïiche schneidet daher û> in der oben erwâhnten Kurve 

 vom Grade m{m-\-n — 1). 



Es ist auf dièse Kurve B' ein m(m — l)-facher Punkt, für des- 

 sen Tangenten wir auf S. 208 hinweisen. Der Punkt X 4 ist nun 

 ein ii/n — m = m(n — l)-facher Punkt. Seine Tangenten sind in 

 § la auf S. 243, 244 erörtert. 



Da die Punkte X i , X 2 und E T (t„ ( _„ 7^ 1) nicht durch die 



Lage von / in e beeinflusst werden, so lasst sicht von der axialen 

 Regelfliiche (Restflache) folgendes behaupten: 



Die axiale Regel/tache einer in s belindlichen Gerade ist vom 

 Grade m(m + n — 1). Si e hat in X x einen mn-fachen Punkt , von dessen 

 Berilhrungsebenen je m in einer der u Ebenen (siehe (4G<v), S. 211) 



{x., — ax- à ) n — a 1 " xC = . . . . (1 13a) 



vereinigt sind. Der Punkt X 2 ist ebenfalls ein mn-facher; von seinen 

 Tangenten sind je m mit einer der n Ebenen (siehe (45a), S. 211). 



