272 DIE CONGRUENZEN VON »'*» = c»-»» w™ UND a?'« w™ = c™+". 



(«! — oa? 3 ) n — a m x£ = . . . . (1 1 4a) 

 ver ei ni g l. Die m — n — 1 Punkte E T (? m -n 7^- 1) *w*^ n- f ache 



' in — n ' 



Punkte, deren Berührungsebenen alle mit oj x zusammengef allen sind. 

 Die Gerade X 3 X 4 ist nun ei ne n(u — X)-faclie Gerade der Floche , 

 weil von den ?r Bllittern der allgeraeinen Flàche von § Ta n mit 

 e zusammenfallen. 



Wir können dies leicht ersehen, wenn wir bedenken, dass die n 2 

 Blatter in einem Punkte X {JL von X 3 X A durch die n 2 Congruenz- 

 strahlen bestimmt werden, welche mit A' 3 A" 4 coincidiren. Von den 

 m 2 — n 2 übrigen Strnhlen liegen m — n in jeder der m — n Ebenen 

 £ r , also auch m — n in s. Da aber die Ebene s m mal abge- 



sondert wird, so mussen noch n Stralilen den n 2 entzogen worden, 

 welche mit X s X 4 zusammenfallen. 



Auf der Restfiâche ist also X B X 4 eine n (n — l)-fache Gerade. 



Es sind aile Berührungsebenen in e vereinigt (Ausnahme in to ). 



Nur der Schnittpunkt S von l mit A 3 A' 4 ist ein ///(/// — Y)- fâcher 

 Punkt. 



Wir sind jetzt im Stande die Singularitàten des Schnittes mit 

 einer durch X x A" 2 gelegten Ebene w tJ _ zu bestimmen. Ein solcher 

 Schnitt hat in X 1 und A" 2 ///«-fâche Punkte, dessen Tangenten die 

 Spuren in co (i bez. der n Ebenen (11 3«) und der n Ebenen (114«) 

 sind (jede m mal gerechnet). Die/// — n — 1 Punkte E T ( T m -n7^^) 

 sind w-fache Punkte, deren Tangenten alle mit X l X% zusammen- 

 gefallen sind (Ausnahme in û>»). Der Schnittpunkt C IJL von / mit 

 w lJL is ein m(m — l)-facher Punkt, dessen Tangenten durch die 

 ausserhalb e liegenden, nach C (JL zielenden Congruenzstrahlen be- 

 stimmt werden. Der Punkt X^, wo oy fi A~ 3 A~ 4 trifft, ist ein n{n — 1)- 

 facher. Seine sâmnitlichen Tangenten sind in X /x E vereinigt (aus- 

 genommen in o» ). 



Schliesslich hat der Schnitt Doppelpunkte in den Schnittpunkten 

 von (o !JL mit der Doppelkurve. 



Die Doppelkurve wird durch die Lage von / in £ wesentlich 

 beeinfiusst. Wir wollen sie daher besonders untersuchen. 



Die Gleichungen (67a) und (QSa) sind hier identisch geworden. 

 Hire gemeinschaftliche Form ist 



ƒ(*■) = ($' — \mf— (w-f a) m — 0. . . (115a) 



Es liefert dièse Gleichung sowohl die Coördinaten tt 2 wie die 7^. 



Die Spur P eines Strahles p, welcher einem Punkte C von / in 



s entstammt, ist somit durch eine Combination (tj-j , ?r 2 ) zweier der 



