DIE CONGRUENZËN VON w'» = c> 



minante von /(tt) = und ƒ( — t) = verschwinden làsst. Es ist 

 selbstredend, dass neben der Bedingung, dass c,. von /(t) dem 

 — c, von ƒ( — tt) gleich sei, auch die Bedingung auftritt, dass c, 

 von /(tt) dem — c /c von ƒ( — x) gleich sei, so dass in (1er Eliminante 

 der Fall c k -\- c [ = zweimal vertreten ist. Die Eliminante ist 

 daher das Quadrat einer Funktion von a, b und (jl. 



Aus dem Obigen erhellt ohne Weiteres, dass die axiale Regel- 

 flache von / in e harmonisch-symmetrisch ist in Bezug auf die Ebene e 

 und den Punkt E' (welcher E in Bezug auf X, und X 2 liarmonisch 

 zugeordnet ist). Hieraus geht hervor, dass alle Geraden, wofern 

 sie E' nicht enthalten, in Paaren vorkominen, deren Schnittpunkte 

 sich in der Ebene £ befinden. 



Es werden speziell die Verbindungslinien der Spuren P p , P r s 

 sich in Paaren anordnen lassen, deren Schnittpunkte auf X 3 E lie- 

 gen. Wir ersehen hieraus, dass die beiden Geraden 



Pp,qPr,3 ■ ■ ■ i C q — Oft " - (. C „ — C r)?2 4" ( C pCs — CqCr% = ° 



und 



P q ,pP S ,r .'.>(& — Cr)ti — (C q — 0& — ( Cp C s — C q C r % = 



sich in dem auf X 3 E liegenden Punkte G pqrs schneiden ; welcher durch 



r> £ £ C » Cs ~ ~ C( fr r 



^.pqfs • ■ • hi hi _ h:i 



C p C (/ C r — f- C s 



bestimmt ist. 



Wenn nun die Gerade P pq P rs A enthalt, so ist dies auch mit 

 PqpPsr ( ^ ei ' Fall. Es treffen alsdann im Punkte C auf / vier Strah- 

 lcn zusamnien, naiulich p Ptq ,p r . s >Pq,p ' lll( l p s ,r> von denen die ersteren 

 zwei mit / durch eine Ebene verbunden werden, und eben falls die 

 letzteren zwei mit / in einer Ebene liegen. 



Der auf / befindliche Punkt C, welcher diese Anordnung liefert, 

 ist daher ein Doppelpunkt der Do/rpelkuroe. Wir wollen ihn mit 

 Z)„„,., bezeichnen. 



Wir können jetzt auch sagen, dass C ein Punkt D pqrs sein wird, 

 wenn der Punkt G pq>rs mit A zusainnienfâllt. Es ist dies der Fall, 

 wenn 



c p c s — c q c r = (120) 



Hier kann p~8 und q = r sein. Dagegen kann weder p = q 

 oder p = r sein , noch s = q oder s = r. Deun im Falie p = q 

 würde die Gleichung (120) zerfallen in c p ="0 und c s = c r , wonach 

 s = r; es würde demnach entweder der Strahl in A ausmünden, 



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