DIE CONGKUENZEN VON w'" = c><->» w»> UND «/" w»> = c>"+». 279 



Es sei <£(//,) vom Grade M , ^(/x) vom Grade N in /a. Es liegen 

 alsdann M Punkte D, , und iV Punkte D ltlirs anf /. 

 Die Doppelkurve schneidet daher / in M,-\- 2iY r Punkten. 



Da jede durch / gelegte Ebene noch - Punkte der 



z 



Doppelkurve enthàlt, so ist der Grad der Doppelkurve 



mnimn — 1) 



M \ 2N-\- 



2 



Von der Doppelkurve lâsst sich also folgendes behaupten : 

 Die Doppelkurve au f der asrialen Regeljliiclie einer in der Ebene 

 c befiudlichen Gerade I schneidet die Gerade I in M gewöhnlichen 

 und N Doppelpunkten. Die Strahlen, welche den M geioöhnlichen 

 Puni- ten entstammen, liegen alle in dei- durch. I und E' gelegten 

 Ebene. Hier ist M der Grad der durch Umformung von Yl(c k -J- c ; ) = 

 erhaltenen Gleiehung $(/*) = , N der Grad der aus ïl{c tl c s — c c r ) = 

 liergeleiteten Gleiehung y ¥([/,)=0. Der Grad der Doppelkurve ist 



n ' 2 



Betrachten wir jetzt den Fall, wo / durch X 3 hindurchgeht , so 

 ist der Schnitt eine w-fache Kurve, deren Grad im allgeineinen 

 Falle m -\-n ist. Es wird jetzt die w-fache Gerade X 3 E abgesondert, 

 wonach wir eine m-fachc Kurve vom Grade m-\-n--l erübrigen. 

 Auf dieser Kurve sind X x und X 2 n-foche Punkte (siehe S. 249); 

 ihre Tangenten sind b'ez. mit X^X k und X % X k zusammengefallen. 



Die Punkte E r (r ,.._,, ^ 1) sind alle gewöhnliche Punkte; ihre 



in — h 



Tangenten convergiren alle nach dem Punkt T (siehe (95a), S. 250). 

 Der Punkt E gehort jetzt der Restkurve nicht an. Es ist ferner 

 B' ein {in-- l)-facher Punkt, dessen Tangenten die ausserhalb c 

 liegenden Bilder von X 3 A = X 3 E sind. 



Die in w r . liegende Kurve hat einen n{n — l)-fachen Punkt in 

 A'j ; sie hat sonst keine Abweichungen von der obigen aufzuweisen. 



Die m — n — 1 Punkte E T (t ... _ „ =é 1) sind auf der Elache 



in — u 



«-factie Punkte. Ihre Tangenten liegen aber jetzt nicht in co x , son- 

 dera in den Ebenen, vvelche E T mit der Gerade X 3 T a (siehe 



m — n 



8. 250) verbinden. Der Punkt E gehort der Elache nicht an. 



Es moge schliesslich die in s liegende Gerade den Punkt X 4 ent- 

 halten. In a>* befindet sich alsdann eine rc-fache Kurve vom Grade 

 m-\-n — 1. Auf dieser Kurve sind X x und X 2 (n — l)-fache Punkte, 

 deren Tangenten bez. mit X i X 3 und X S X 3 zusammen tallen. Es ist 

 X 3 ein (m — l)-facher Punkt, dessen Tangenten die m — 1 ausser- 



