2S0 DIE CONGRUENZEN VON w'"= c*~™ w™ UND »'»»»i = c"+'K 



halb s liegenden Bilder von X !t FJ sind. Es ist A ein (;* — l)-facher 

 Punkt, dessen Tangenten durch die ausserhalb £ liegenden Congruenz- 

 strahlen bestimmt sind. Die Punkte E T [r m _ n ^ 1) sind ge- 



m — i-i ° 



wöhnliche Punkte ; ihre Tangenten convergiren in einem auf X a E 

 betindlichen Punkt. Uer Punkt E gehort der Kurve nicht an. 



Die in oj x liegende Kurve hat in X 4 einen mini — l)-fachen 

 Punkt, dessen Tangenten alle in X 4 E vereinigt sind. Es vveist 

 iïbiïgens dièse Kurve keine' Abweichungen auf. 



Auf dieser Regelflâche verhalten die Punkte E T sich nicht 



m — n 



anders als auf der allgemeinen Flâche. Nur der Punkt E befindet 

 sich me/// auf (1er Flâche. 



Der Schnitt mit einer durch A\ X 2 gelegten Ebene m lJL zeigt daher 

 keine anderen Eigenschaften als diejenigen, welche bei der axialen 

 Regelflâche einer willkürlichen in s liegenden Gerade erwâhnt sind. 



§ 10(5. Die axiale Regelflâche einer in einer siiiguliireii Ebeue s T 

 liegeuden Gerade, in der hynerbolischeii Congruenz. 



Die Ebene s T (r m + " =1) ist singular . und tragt ein Strahlen- 

 gebilde von der Klasse m -\- n ; sie gehort also als Ausartungs- 

 gebilde vom Grade m -\- n der axialen Regelfliiche an. Die Restflâche 

 ist somit vom Grade (m -f- n) (m -\-n — 1) -f- 2 mn. 



Von den (m -f- u) 1 Strahlen , welche einem auf / in s T liegenden 

 Pnnkte entstainmen , liegen m -j- n in der Ebene s T . Auf der Rest- 

 fliiche liegen deren also (m -j- n) (m -j- n — 1), wonach / auf der 

 Restflâche eine (m -\~ n) (m -\- n — 1 )-fache Gerade ist. 



Wo kein Irrtum droht, wird mit (1er axialen Regelflâche die 

 Restflâche gemeint. 



Der Schnitt mit (o x der allgemeinen Regelflâche besteht aus mn 

 mal AX i} mn mal AX. 2 , nr mal der Gerade AX 3 und aus einer 

 Kurve vom Grade n(2 m -j- n). 



Die //r-fache Gerade AX 3 rührt von den vr Strahlen her, welche 

 dem Punkte A entstammen und w in der Nâhe von A- 3 schneiden. 

 Durch einen Punkt A von X K E T gehen m -j- n Tangenten der in 

 der Ebene s T liegenden Fokalkurve. Von diesen Tangenten fallen 

 m mit der Gerade AE T (=X S E T ) zusanimen. Es ist dies leicht 

 ersichtlich, sobald man die Gleichung der Fokalkurve in Linien- 

 coordinaten betrachtet. 



Die Tangente wird (als Congruenzstrahl in der Ebene x i =^Tx i =-x^ 

 durch 



m 



