DIE CONGRUENZEN VON w'" = c"—»tr» 1 UND »'»»« = <!»>+». 283 



X, t E und in eine Restkurve vom Grade ;«(»« -\- 2n — 1). Wir können 

 zwnr ihre Eigenschaften aus dem uninittelbar Vorangehenden ableiten, 

 iiidem wir m und n , und die Indices 3 und 4 veïtauschen , mussen 

 jedocli bemerken, dass E auf dieser Kurve ein n(m-- l)-facher 

 Punkt ist und nicht ein /»(» — ])-facher, wie man erwarten könnte. 



Es liisst sich diese Abweichung wie folgt erklàren. 



lm Falie der willkürliclien Gerade zeigte sich, dass alle mn 

 X 3 entstammenden Strahlen im Punkte A 3 ausmiinden, und umge- 

 kehrt, wonach die Ordnung (1er Singularity von X 3 und A die 

 niiinliche war. 



Diese Eigenschaft erhalt sich stets aufreeht, audi falls von diesen 

 Strahlen X Z A Z welche in eine singulare Ebene abgesondert werden. 

 Wie sich oben ergab , liegen von den mn nach X 3 zielenden Strahlen 

 nur n genau in e. Die iibrigen n{m — 1) Strahlen riihren vom auf 

 der Restkurve in co Q liegenden Punkte E her. Wir schliessen, dass 

 der Punkt E auf dieser Restkurve ein n(m — l)-facher ist. Samint- 

 liche Tangenten sind in der Gerade XjX, vereinigt, welche in E 

 m(in — 1) Punkte mit (1er Kurve gemein hat. 



Die Punkte X x und X. 2 erfahren selbstverstandlich keinen Einfluss 

 von der Lage von / in e. 



Fails / die Gerade X 3 X 4 (in S) trift, zeigt sich der Schnittpunkt S 

 als ein (m -\- #) 2 -facher Punkt der Flàche. Es leuchtet ein, dass, 

 wenn / in s liegt , der Tangentenkegel vom Grade (m -\- nf von 

 S in {m -j- n) mal die Ebene e und einen Kegel vom Grade 

 {m -j- n) {m -f- n — 1) ausgeartet sein wird. Der Schnittpunkt S von 

 / mit A' :; A',, ist also hier ein {w -\- n)(m -\- u-- l)-facher Punkt. 



Die Gerade / schneidet die in e betindliche Fokalkurve e in m -\- n 

 Punkten L c . Aus jedem Punkte L L , werden zwei zusammenfallendè 

 Tangenten an e gelegt, also zwei coincidirende Congruenzstrahlen 

 in e. Bei der Absonderung der Ebene e wird jede au e gelegte 

 Tangente einmal der totalen axialen Regelfiache entnommen. Die 

 m-\-n in den Punkten L e gelegten Tangenten funktioniren also 

 noch einmal als Erzeugende der Restflache. Sie schneiden X z X h in 

 m -\- n Punkten X e . 



Die Gerade X S X 6 hat nun mit der Restflâche gemein : n(m--l) 

 mal den Punkt A' 3 , m(n — 1) mal den Punkt X 4 , (w -J- n) (m -\-n — - 1) 

 mal den Punkt S, und einmal die Punkte X e , zusammen also 



n {ui — 1 ) -\- m(a — 1 ) -- (m -\- n) (m -f- n — 1) -J- m -f- it = 

 = (in -f- n) (m -\-n — l) -f- 2 mn Punkte. 



Wir haben nun die folgenden Resultate aufzuweisen : 



Die axiale Regelfiache einer iu der siiigiilaren Ebeue e Iie»'rudeii 

 Gerade ist com Grade (m + n) (m -j- u — l) + 2mn. Die P mille A", und 



