284 DIE CONGRUENZEN VON w '« = c»-'» w»< UND »'» w"« = c"<+». 



X 2 «»«? ô«fl?e 2mu-fac/ie Punk te ; die Tangenten in X 1 befinden sich 

 in 2ido Ebenen , von denen mil ~// ye m ûi emer cfer u Ebenen 



a w (a? 2 — aa? 3 ) n — a? 4 w = . . . . (1133) 



(siehe (463) S. 232) w«c? <$V vhrigen niii «« ;e n in einer der m 

 Ebenen 



b'"(a' 2 — b'aj i y" — w :i '" = Q. . . . (113'3) 



vereinigt sind; die Tan (/enten in X 2 sind in derselben Weise iiber 

 die Ebenen 



ii nd 



a m fa — aœ 3 ) n — œ i n =0 . . . . (1143) 

 b' n {xi — 3a? 4 ) w — w™ = . . . . (114'A) 



verteitt. 



Der Punit X 3 ist eiu n(m — \)-facher Punkt , dessen Tangenten 

 sich alle in oj x befinden. Der Punkt X 4 dagegen ist ein m(n — 1)- 

 f acker Punkt, dessen Tangenten alle in co ü liegen. Der Punkt E ist 

 nun ein (2nm — in — h)- fâcher Punkt; ii(m — 1) Berührungsebenen sind 

 in co x , m(n — 1) in s vereinigt. Der Sclinittpunkt S von l mit 

 X 3 X 4 ist eiu (m + u) (m -f n — \)-f acker Punkt. Die Axe l ist eine 

 (ni -f- n) (m + u — ly/acke Gerade. 



Der Schnitt in einer (lurch X i X 2 gelegten Ebene co (i hat in X ± 

 und X 2 2mn-f&che Punkte , dessen Tangenten die Schnittlinien von 

 to (Ji mit den oben gegebenen Ebenen sind; er hat im Schnittpunkte 

 von / mit û)^ einen (m -\- n) (m -f- n — l)-fachen Punkt , dessen Tan- 

 genten durch die ausserhalb s liegenden Congruenzstrahlen bestimmt 

 sind. Der Punkt E ist ein (2mn — /u- — »)-facher Punkt, von déni 

 n(m — 1) Tangenten mit X*X 2 und m{n — 1) mit der Schnittlinie 

 von (o,j, und ô zusammenfallen. Der Schnitt hat Doppelpunkte in 

 den Schnittpûnkten von co^ mit der Doppelkurve. 



In Bezug auf die Doppelkurve diirfen wir hinweisen auf das 

 am Ende von § 10a Dargelegte. Der Unterschied ist nur, dass die 

 Gleichung f{r) = eine andere Gestalt aufweist. 



Betrachten wir jetzt noch den Fall, wo /den Punkt X 3 oder X 4 

 enthalt. 



Wenn / durch X 3 geht, so wird die Ebene <o x run mal abgesondert. 

 Man erübrigt eine Flâche vom Grade (m-\-n)(m-\-n — \)-\-mn, 

 auf welcher X. t und X 2 «m-fache Punkte sind. 



Die Gerade X 3 X 4 sclmeidet die Restfliiche m (n — 1 ) mal in X 4 , 



