DIE CONGRTJENZEN VON w'n = c n-m w m UND w'»w"> = &»+». 287 



(<?', — x 2 ) n . Die Kurve vom Grade run ist nun in die «-fache Ge- 

 rade X 3 E und eine Kurve vom Grade n(m — 1) zerfallen. Diese 

 hat in X 3 einen ?&(« — l)-fachen Punkt, dessen sâmmtliche Tangen- 

 ten in X 3 E vereinigt sind. Es hat diese Tangente ausser X 3 keinen 

 Punkt mit der Kurve gemein. Der Punkt E gehort der Kurve 

 nicht an. 



Die in (o liegende Kurve besteht jetzt aus der nhn — ])-fachen 

 Gerade X X X 2 und ans einer Kurve vom Grade m{m — 1). 



Die Gleichuns 



'8 



x { — x, -f- ftfa»' — a? 2 m >4 m = . . (129a) 



erscheint ja nach Rationalisirung teilbar durch (x. { — x.,)'". 



Es ist auf der Elàche X^X 2 eine n(m — l)-i'ache, X 3 X 4 eine n(n — 1)- 

 fache Gerade (Siehe weiter \ Sa, § da, §\0a). 



§ 113. Die axiale Regelflache einer in £ liegenden Gerade l lJL , 

 welene X,X, (in E) schneidet, in der hyperbolischen Congruenz. 



Wir haben hier die Ergebnisse von § 93 und §103 zu verschmelzen. 

 Die Schnittkurve in co x hat die Gieichung (à 2 = — #,,) 



m m + n m m + n m m 



x^x 3 ~~ - x.S x 3 ~ r — \i(x x — xjx^x^ = 0. . (1283) 



Nach Rationalisirung wird sie teilbar durch {ge i — x 2 )*. 

 Wir erübrigen also eine Kurve vom Grade n(2m-\-n — 1). 

 Cbrigens unterscheidet diese Regelflache sich nicht vvesentlich 

 von der in § 103 erörterten Elâche. 



§ \2a. Die axiale Regelflache eines Congrnenzstrahles in der 

 parabolischen Congruenz. 



Die Ebene, welche einen Congruenzstrahl s mit X x verbindet, 

 ist singular und tragt ein Strahlengebilde von der Klasse in. Es ist 

 diese Ebene (s, X A ) daher als ein Bestandteil m tea Grades der axialen 

 Regelflache zu betrachten. Aus denselben Grimden ist auch die 

 Ebene, welche ó' mit X 2 vereinigt, als Bestandteil w ten Grades zu 

 betrachten. 



Aus dem Obigen geht hervor, dass wir eine Flache vom Grade 

 m(pi -\- n — 2) erübrigen. 



Von den m 2 Strahlen, welche sich in einem Punkte von s treffen, 

 ist s selbst ein Exemplar; m — 1 andere liegen in der Ebene (s, X 1 ), 

 noch m — 1 andere liegen in der Ebene (s, X>); es liegen deren also 

 ausserhalb s auf der Restflâche »r — 2 (m — 1 ) — 1 = (m — l)' 2 . Der 



