288 DIE CONGKUENZEN VON w'" = c»->" w»< UND V" to'" = c>"+». 



Strahl s ist demnach auf seiner axialen Regelflache eine (m — l) 2 - 

 fache Gerade. 



Der Schnitt von cd x mit der allgeraeinen Regelflache besteht aus 

 u(w — n) mal der Gerade AX it n(m — 1>) mal der Gerade A X 2 , 

 (m — n) mal den m — n Geraden Ah' r und aus einer Kurve 



m — n 



vom Grade n(m ~\- n). 



Der Fok'alkegel F. 2 hat in X^X 2 eine %-fache Kante, deren sânnntliche 

 Berührungsebenen in co x vereinigt sind. Die Ebene (s, X ± ) schneidet 

 also F 2 in einer Kurve m i%r Klasse, welche in X i einen «-lachen Punkt 

 hat. Die n Tangenten in X t sind alle in X, 8 zusammengefallen, 

 wenn rait S die Spur von s in w x bezeichnet wird. Dièse n Geraden 

 X l /S können als die Grenzlagen von n Geraden betrachtet werden, 

 welche einem auf s nahe bei S liegenden Punkte Y entstanimen 

 und überdies die Kurve w tei ' Klasse berühren. Weil letztere aui' 

 der Fokal Hache liegt, so sind die «Tangenten Congruenzstrahlcn. 

 Wir stoszen hier auf einen Unterschied mit dein Falie, wo es sich 

 urn eine willkürliche Gerade / handelt. In diesem Falie sind die 

 aus einem nahe bei A liegenden Punkte Y an die in der Ebene 

 (/, Xj) befmdliclien Kurve gelegten Tangenten eben nicht Congruenz- 

 strahlen, da die Ebene {l, Xj) nicht singular ist. 



Die n Tangenten /SXjerscheinen also alsCongruenzstrahlen nur dann, 

 wenn wir uns dem Punkte S langs einem Congruenzstrahle s nâhern. 

 Sie gehören somit den n{m — n) Geraden AX X sonst nicht an, wer- 

 den deshalb jetzt der in io x liegenden Restkurve entzogen, deren 

 Grad demnach um 2n erniedrigt wird und also den Wert n(m-\-n — 2) 

 erhalt. Die Ebene (s, X x ) ist im Ganzen iw-fach abgesondert, SX X 

 daher dem Gesaniratschnitte in a» œ m mal entnommen. Wie oben 

 gezeigt wurde, werden von diesen m Geraden SX± n der Rest- 

 kurve entzogen, und somit m — n den n(m — n) Geraden SX X , 

 welche ursprünglich dem Ausartungsgebilde angehörten. Das Aus- 

 artungsgebilde enthàlt also jetzt {>i — l)(w — n) mal die Gerade 

 SX^ und (n — ï)(m — n) mal die Gerade SX 2 . 



Unser Schluss ist demnach, dass die Restflâche, vom Grade 

 m(m -\-n — 2), die Ebene w*, schneidet in (n — 1 ) (m — n) mal der 

 Gerade SX 1 ,(n — 1)(/;/ — n) mal der Gerade SX 2 , (m — n) mal 

 den m — n Geraden SE T und in einer Restkurve vom Grade 



m — n 



n(m -|- n — 2). 



Da die Spur S' von s in w eines der Bilder von /Sist, so haben wir 



m m .... (I30fl) 



L' = -«?/" , bj = s.,". 



