DIK CONGRU ËNZICN VON w'" = c"->" w"> UND w'" w>" = c»'+». 291 



Die Kurve hat schliesslich Doppelpunkte in den Schnittpunkten 

 von (O/j, mit der Doppelkurve. 



Wir wollen diese Doppelknrve naher betrachten. 

 Die Gleichungen 



/iW = (74) 



und 



M*-2) = 0, ....... (75) 



welche zusammen die Spuren der Strahlen bestimmen, welchc sich 

 in einem Punkte von s schneiden, haben jetzt bez. die Wurzeln 

 vr i = und t 2 = 0. 



Die durch Fortschaffung dieser Wurzeln entstandenen Gleichun- 

 gen wollen wir mit 



*i(Ti) = (136) 



* 2 (^ 2 ) = (137) 



andeuten; sie sind nun vom Grade /// — 1. 



Nachdem wir die Gleichungen (136) und (137) an die Stelle 

 der Gleichungen (74) und (85) gesetzt haben, können wir das 

 Verfahren von § 6a wiederholen. Weil die Zahl m jetzt urn eins 

 erniedrigt ist, so wird auch die Doppelkurve einen niedrigeren 

 Grad aufweisen als ira allgemeinen Falie. 



§ 12£. Die axiale Regelflàche eines Coiigrueiizstrahles in der 

 hyperbolischen Congruenz. 



Die singulâre Ebene, welche den Congruenzstrahl * mit X x ver- 

 bindet, enthàlt ein Strahlengebilde von der Klasse m-\-n. Sie bil- 

 de t demnach ein Bestandteil vom Grade m -j- n der axialen Regel- 

 flàche von s. Ebenso wird dieser axialen Regelflàche (m-^-ri) mal 

 die Verbind ungsebene (s, X 2 ) entnommen. Die Restflache ist daher 

 vom Grade (m -j- nf -f- 2mn — 2(m -\- n) = (m -\- n) (m ~\-n — 2) -|- 2 mn . 



Zu den (m-\-nf Strahlen, welche nach einem Punkte von s 

 zielen, gehören, ausser s, noch m-\-n — 1 Strahlen in (s, X^) und 

 m -f- n — 1 Strahlen in [s, X 2 ), wonach deren nur (m -\- nf - 

 — 2(m -\- n — 1) — 1 = (m -\-n — l)' 2 auf der Restflache liegen ; hier- 

 durch erscheint s auf seiner axialen Regelfliiche als eine (m -j- n — l) 2 - 

 fache Gerade. 



Der Schnitt der allgemeinen Regelflàche mit w x setzt sich aus 

 mn mal der Gerade AX t , nut mal der Gerade JX. 2 , m 1 mal der 

 Gerade AX 3 und ans einer Kurve vom Grade n(Zm -f- n) zusammen. 



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