DIE CONGKRUENZEN VON w'" = c»-»>w>» UND w'" w"> = c'»+>K 295 



Der Schnitt mit einer durch X X X 2 gelegten Ebene w lJL hat jetzt in 

 Xi und X 2 [2mn — (m -\- #)]-fache Punkte. Von den %mn — {m-\-ri) 

 Tangenten in X, sind m(n — 1) zu je m in einer der n — 1 Spnren 

 der Ebenen (133^) in oj^ vereinigt, von den anderen n{m — l)sind 

 je n in einer der m — 1 Spnren der Ebenen (133'$) in O)^ zusam- 

 mengefallen. Analoges gilt für die Tangenten in X 2 . 



I m Schnittpunkte Sp von s rait io (J , hat die Kurve einen 

 (m-\-n — l)--fachen Pnnkt, dessen Tangenten durch die ausserhalb 

 0, X 4 ) und {s, X 2 ) liegenden nach S tJ . zielenden Strahlen bestimint 

 werden. 



Die Punkte X {i , S 3 und <y 4 ' verhalten sich in derselben Weise 

 wie ini allgenieinen Falle. 



Die Doppelkurve ist audi hier von niedrigerero Grade. 



Waren früher f ± {T i )=0 und f. 2 {7r 2 ) = vom Grade m-\-n, so 

 sind nun die durch Fortschaffung der Wurzeln ir x = und tt 2 = 

 erhaltenen Gleichungen s i (jr i )=^0 und s 2 (7r 2 ) = vom Grade 

 m -\- n — 1 . 



$ 13a. Zfe'e aadale Regelflmhe eines in einer siugukiren Ebene c T 

 liegenden Congruenzstranles, i« der parabolischen Congruenz. 



Der Strahl s gehort nun drei singulàren Ebenen an, n.l. den 

 Ebenen s T , (s, X 1 ) und (s, A\). Jede dieser Ebenen enthàlt ein 

 Strahlenge bilde w tei ' Klasse. Die Restflâche ist somit vom Grade 

 m{m -|- ri) — 3?» = m{m -\- n — 3). 



Es liegen ausserhalb der Ebenen (s, X^ und {s, X 2 ) {m — l)' 2 

 Strahlen, welche nach einem Punkte von s zielen. Von diesen be- 

 tinden sich m — 1 in c T ; demi durch diesen Punkt gehen m in s r 

 liegende Strahlen, von denen s einer ist. Es liegen demnach ausser- 

 halb der Ebenen (s, XJ, {s,X 2 ) und c T 0--1)' 2 — {ni — 1) = 

 {m — !)(;;/ — 2) Strahlen, wonach der Congruenzstrahl s nuf' seiner 

 axialen Regelflâche eine {m- — \){m — 2)-fache Gerade ist. 



Tm allgenieinen Falle trâgt die Ebene w« n{m — ri) mal die Gerade 

 JX if //{m — ri) mal die Gerade L\ 2 , {m- — ri) mal die m — n Geraden 

 AE r und eine Kurve vom Gerade n{m-\-n). 



Ill — VI ' 



De m in § \()a und § 1 2a Dargelegten entsprechend, làsst sich 

 bemerken, dass die Ebene {s, X,) {m — ri) mal SX i} die Ebene 

 {s, X 2 ) {m — ri) mal SX. 2 und die Ebene c T {m — ri) mal die Gerade 

 SE r dem Ausartungsgebilde entnimmt, wâhrend die Ebene (s, \,' 

 n mal SX i} die Ebene {s, X. 2 ) n mal -5X 2 und die Ebene s T n mal 

 SE T von der Restkurve vom Grade n{rn-\-ri) abtrennt. 



Die Restflâche des in s T befindlichen Congruenzstrahles <s- hat 

 also mit to,» gemein : {n — l)(m — ri) mal $X 1; {n^\){nt — //) 



