DIE CONGKUENZEN VON m'» = c»-»< io>» UND 10'» W" = c»'+'K 305 



d.h. den Schnittpunkt L 2 von /«, mit A^A'y, wàhrend die n — 1 

 Gleichungen, in welchen r n ^L\, r,' = 1 ist, 



P™ = ° 



liefern, also den Schnittpunkt L^ von /*> mit X 2 X 3 . 



Ausser diesen Gleichungen giebt es noch ;r — S(n — - 1) — 1 = 

 = ;r — 3// -j- 2= (n — 1) (n — 2) , deren jede m verschiedene Punkte 

 P liefert. 



In dieser Weise làsst sich also die Anzahl der Schnittpunkte von 

 4 mit der Doppelkurve feststellen, daher auch (1er Grad (1er Dop- 

 pelkurve, weil die Anzahl der ansserhalb l x in einer (lurch L 



gelegten Ebene liegenden Doppelpunkte - — — - ist. 



Fur -diesen Grad finden wir %m{n — \)-\-m{n — 1)(// — 2) -\~ 



, mn{mn — 1) mn(mn — - 1) mn(mn -\- 2n — 3) 



-f -y - = *nn(n-l)+ — — 



§ 143. D/f aœiale Begelflàche a 'nor in der Ebene o> x liegenden 

 Gerade , in der hyperbolisch en Congruenz. 



Jeder auf /» in cox, liegende Punkt A triigt mn Strahlen AX ± , 

 mn Strahlen AX 2 nnd ni 1 Strahlen AX 3 . Die Ebene o>» ist dern- 

 nach ein Bestandteil vom Grade m(m -\- %n) der axialen Regelfiàche. 

 Die Restfliiche ist somit vom Grade (m -}- rif ~\- 2mn- — m(m -\- 2ri) = 

 = n(2m -j- ri). 



Anf dieser Restflache ist l«, eine ?r-fache Gerade. 



Es moge h. die Gerade X 2 X 3 in L x , X i X 3 in L 2 und X ± X 2 in 

 L 3 schneiden. 



Wir denken uns einen Punkt P, welcher sich langs l x bewegt. 



Die n 2 Bilder von P werden, wenn P in L x konimt, alle in 

 X x , wenn P in L, kommt, alle in X % vereinigt sein. Die Geraden 

 L^X X und L 2 X 2 betinden sich deshalb auf der Restflache. 



Da jeder Strahl in co* (lurch X x oder durch X 2 ein ;y///-facher 

 ist, so sind die Geraden /., A, und L 2 X 2 als mn-ï&óhe Elementen 

 des Schnittes in w x zu betrachten. 



Der Schnitt in o»x besteht daher ans ir mal (1er durch 



«! a?! -f- cc % œ 2 -\- ct, 3 x 3 = .... (142) 



angewiesenen Gerade l*, , und aus mn mal den Geraden L^X A 

 (ac 2 œ 2 -\- ot 3 œ 3 = 0) und L 2 X 2 {cc^ a?, -j- a, t x 3 = 0). 



. Wenn der làngs /«, bewegliche Punkt P in i/ 3 kommt, so werden 

 alle Bilder von P in A~ 4 fallen. Die Gerade X 4 X 3 ist demnach eine 

 ft 2 -fache Gerade der Flache. 



Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1« Sectie) Dl. X. B 20 



