308 DIE CONGRUENZEN VON «,'n = c n-m w m TJND w'» w»> =c»»+». 



m» mal entnomnien. Die Restfliiche vom Grade n{m-\-n) erscheint 

 als eine w-fache. 



In Bezug auf die Erörterung der Doppelkurve auf der axialen 

 Regelflache einer in w x liegenden Gerade l x , geniigt es auf die 

 vollkommene Analogie mit der entsprechenden Untersuchung in der 

 parabolischen Congruenz zu weisen, welche den Schluss von § 14a 

 bildet. 



§ 15«. Die axiale RegelJ/ache einer Gerade X % E r in der 



parabolischen Congruenz. 



Die Gerade X S JEJ T befindet sich in zwei singularen Ebenen, 



i/i — a 



n.l. in den Ebenen a> x und e T . Der Grad der Regelflache wird 

 daher am m 2 — n 2 -f~ m erniedrigt. 



Wir haben in der Gleichung (1 44a) (S. 302) k = r m _ n einzu- 

 setzen. Wir wahlen k=\. Die erwàhnte Gleichung lautet alsdann 



(l — T„y n - " (af 4 — x ,y x-r = (—1)'" (t„ x, — x,y r # 4 W . (147«) 



Eine dieser Gleichungen (nl. r n =l) hat die Form 



Hieraus ist ersichtlich , dass der ganzen Flâche m mal die Ebene e 

 angehört. Ausserdem wird die Ebene o» x noch n mal abgesondert. 

 Wir erübrigen also n — 1 Regelflâchen vom Grade m -f- n. 



Es enthalt jede X^X. 2 als eine w-fache Gerade mit (o^ als ein- 

 ziger Beriihrungsebene. Die Gerade X 3 X 4 ist auch eine w-fache; 

 sie hat auch nur co x als Berührungsel>ene. 



Die Doppelkurve wird in derselben Weise bestimmt, wie am 

 Ende von § 14a angegeben ist. Wir haben nur zu beachten , dass 

 # 2 = — a. { und # 3 = ist, wonach (146a) übergeht in 



Pi m = 0. 



Der Punkt X 3 ist also der einzige , welcher einer naheren Be- 

 trachtung bedarf. 



Die n- nach X 3 zielenden Strahlen fallen alle mit X 3 X 4 zusammen. 



§ 153. Die axiale Regel f àche einer Gerade X 3 E T in der 

 liyperbolisctaeii Congruenz. 



Die axiale Regelfliiche der Gerade X % E T , z. B. der Gerade 



X 3 E, welche in <o x liegt und durch X 3 geht , zerfallt in n Flachen 

 vom Grade w-\-n, von denen jede durch die Gleichung (144ó) 



