310 DIE CONGRUENZEN YON iD""=tin-™w™ UND w'w w m ==ff m+n 



in o)x. Da jedoch die Ebene co x schon 2mn mal abgesondert ist, 

 so enthâlt die Restflache in co x noch m (m — w)-fache Strahlen 

 durch Xi und ;« (m — ;/)-f acne Strahlen durch X 2 , welche daher 

 zusammen eine Figur vom Grade 2m(in — n) bilden. Diese Figur 

 wird ziim vollstândigen Schnitte vom Grade 2m 2 ergânzt durch eine 

 Kurve vom Grade 2mn. 



Wir sind also zu der Einsicht gelangt , dass die Regelfliiche eines 

 durch Xj und X 2 gelegten Kegelschnittes y {J , die Ebene o)x> schnei- 

 det in einer Kurve vom Grade 2mn und in m (m — ^)-fachen Ge- 

 raden durch X, und m (m — «)-fachen Geraden durch X 2 . 



Wir wollen den Kegelschnitt y tJi durch 



<*3 & #1 «a + X \ (<*2 & #3 + *3 P> X d + X 2 («1 A$ #3 + *i ft «4) "f 



4-("o/WH-*3/W) = 0, (148) 



«3 = ^4 (149) 



darstellen. 



Die Tangente in X, wird angewiesen durch 



*3 & a? 2 -f a 2 /3j «3 + a 3 /3. 2 a? 4 = , | 



a? 3 = «a? 4 . ) 



Die einem nahe bei X x liegenden Punkte entstammenden Strahlen, 

 welche in w, liegen, werden (siehe § Sa, S. 261, 262) durch 



«3 n /3 3 ^2 m - (— D>"3/V-2 + (««.ft + *M*z\ n *3 m - n = (1 50fl) 



gegeben ; man erhàlt diese Gleichung, indem man in (103«)(S. 262) 

 a? 4 =0 einsetzt. Es bestimmt diese Gleichung die m (m — w)-fachen 

 Geraden durch Xj , welche mit den m {m — w)-fachen Geraden durch 

 X 2 und der Kurve vom Grade 2nm den Gesammtschnitt bilden. 

 Die m (m — w)-fachen Geraden durch X 2 sind durch 



«/A^r— (— l) w {^/33^ + (^i/3 3 + ^/3>3} n *3 M ~ w =0 (161a) 



angewiesen. 



Die Kurve vom Grade 2mn ist der Ort der Spuren P (ft, ft,) 

 der Congruenzstrahlen p, welche y (i schneiden. 



Die Gleichung dieses Ortes werd ermittelt, indem man aus den 

 Gleichungen (148), (149) und (6a) die Coördinaten x x ,x 2 ,x- à und 

 x k eliminirt. Man bekommt alsdann : 



in m m 



*i /3 3 (m + ft") (m + p7 } ) + («ft + ft") («*2 A + * 3 /3 2 ) + 



+ (m + ft*) (/**1 & + «3 ft) + G"' *0 ^3 + «3 A>) = <> , 



