312 DIE CONGRUENZEN VON w' n = c« -m w m TJND w'^w™ — c m+n. 



.Beachten wir die in (153) gegebene Bedeutung von y Q , y ' und 

 y u so erscheinen diese Tangenten identiscli mit den Geraden durch 

 X l5 welche dem Gesamintschnitte angehören (siehe (150a)). 



In derselben Weise ersehen wir, dass die genannten Geraden 

 durch X 2 ( 1 5 1 «) auch die Tangenten in X 2 an der Kurve sind. 

 Als Tangenten in X v und X 2 sind aber die Geraden (150a) und 

 (151a) «-lach zu rechnen. 



Mit anderen Worten : die Tangenten in X, (bez. X 2 ) an der in 

 (Ox liegenden Kurve sind die Congruenzstrahlen , welche sich in 

 dem X ± (bez. X,) vorangehenden Punkte auf y {JL stiitzen. 



Wen il wir bedenken , dass 



7o = P7o' = f* Z yo> 



yi = Wi , 

 y -2 = m, 



so lasst sich die Gleichung (154a) folgenderniassen schreiben 



■n M m 



v y» ' 



Aus dieser Form erhellt, dass die Substitution (155a) den Faktor 

 ■lm 

 x 3 n , also in der rationalen Gleichung den Faktor oo 3 mn absondert; 

 die Tangenten von X t haben daher dort 2mn zusammenfallende 

 Punkte mit der Kurve gemein , enthalten demnach ausser X, keinen 

 Punkt der Kurve. Ebenso lasst sich zcigen , dass von den Tangenten 

 in X 2 alle Schnittpunkte mit der Kurve in X, vereinigt sind. 



Der Schnitt der Regelflache mit û) wird ermittelt , indem wir 

 aus den Gleichungen (148) und (149) von y lt und aus den 

 Gleichungen 



/< 



n 



die Coördinaten a\, a? 2 , # 3 und x k eliminiren. Wir finden alsdann 



*3 & (pi + fipi '") (pi + H>pi '") + ( pi + fipi '") (^ 2 /3 3 + a 3 /3 2 ) 4- 



+ (pi + win (/**i & + cc, ft) 4- (^ « 3 A, 4- *<. &) = o . 



oder 



