314 DIE CONGRUENZEN VON io-" = c"-'" W" UND w'« w™ = *»+*. 



Uer Sclmitt dieser »2 Ebenen mit co (œ à =-- 0) erscheint gerade 

 zusammengesetzt aus den m wz-fachen in A', an der Kurve in co 

 gelegten Tangenten. 



Dieses Ergebniss ist im Einklang mit der Vorstellung , nach der 

 die in <o nalie bei X i liegenden Punkte denjenigen Strahlen ange- 

 hören, welche sich in den X, vorangehenden Punkte auf dem 

 Kegelschnitte y /A stiitzen. 



Mit Hülfe von (156a) lâsst sich die Gleichung (158a) folgender- 

 massen schreiben : 



n m — n /, in — M 



In der rationalen Gleichung sondert daher die Substitution (159a) 

 den Faktor 2nr ab; es erhellt somit, dass die Tangente in X i alle 

 ihren 2m 2 Schnittpunkte mit der Kurve in X a vereinigt hat. Analoges 

 làsst sich von den Tangenten in X behaupten. 



Auf der Flache sind X 4 und X 2 «r-fache Punkte , von deren 

 Berührungsebenen je m in einer von m Ebenen zusanimengefallen 

 sind. Es bilden dièse m Ebenen die llegelfliiche der Strahlen , welche 

 auf der in X^ (bez. X 2 ) an y it gelegten Tangente ruhen. 



Der Kegelschnitt y (i selbst ist auf seiner Regelflâche eine 

 m 2 -fâche Kurve. 



Es befindet sich auf der Flâche noch eine Doppelkurve , deren 

 Untersuchung dahingestellt bleiben moge. 



§ IQb. Die Iîcr/elfache der Strahlen, welche auf einem (lurch X, 

 und Xo gelegteu Kegelschiiitte ruhen , in der hyperbolischeii Congruenz. 



Die Regelrliiche der Strahlen welche in der hi/perbolischen Con- 

 gruenz auf einem willkürlichen Kegelschnitte ruhen , ist vom Grade 

 2(fu -f- nf -\- 4 mn , weil (1er Kegelschnitt in seiner Ebene eine 

 (m -\- n) 2 -i\\che Kurve ist und überdies noch zweimal durch jedem 

 der %mn in seiner Ebene liegenden Strahlen geschnitten wird. 



Sobald der Kegelschnitt die Punkte X 4 und X. 2 enthàlt , werden 

 die Ebenen w x und co abgesondert, weil jede durch X. { oderX 2 

 in co x oder û> gelegte Gerade ein Congruenzstrahl ist. 



Da eine durch X t in wà gehende Gerade als ein ww-facher Strahl 

 betrachtet werden muss, auch wenn X i als Sammelpunkt gewàhlt 



