318 DIE CONGRUENZEN VON «,'» = &>—> w™ UND w'" w» = c>»+». 



oder 



(7o' ^ + 7i *s) n x? — (— 1 )" 7o n ^" +n = 



m (m+n)(n— 1) 



= (— 1)" kXo" -1 V^3~~^~ ~ 9' + ».+ v™ «P n ]. 



Die linke Seite dieser Gleicbung ergiebt, wenn gleich Null ge- 

 setzt, die m-\-n Tangenten in X ± , welcbe ausserdem die Gerade 

 X 2 X, (x i = 0) in denselben Punkten wie die Kurve schneiden. 



Wenn man die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve 

 verlangt, und dementsprecbend die linke Seite gleich Null setzt, 



m 



so wird in der rechten Seite ein Faktor x x n und eine in œ\ und 

 a? 3 homogene Form vom Grade m -j- n -\- 1 abgetrennt. 



In der rationalen Gleicbung vom Grade n(m -\- n) würde alsdann 

 der Faktor x™ und eine in x 2 und a? 3 homogene Form vom Grade 

 n{m -f- n ~\- 1) abgesondert sein. Es hat demnach jede Tangente in 

 X 1 daselbst n(m — |— w —J— 1 ) Punkte mit der Kurve gemein, und in ihrem 

 Schnittpunkte mit X 2 X 3 m Punkte. 



Die Gerade X 2 .X 3 dagegen hat in X 2 n(m -\- n) Punkte und in 

 sammtlichen iibrigen m-\-n Scbnittpunkten n(m-\-n) Punkte, also 

 in jedem Schnittpunkte n Punkte mit der Kurve gemein. Hieraus 

 geht hervor, dass die Schnittpunkte von X 2 X 3 mit der Kurve 

 72-fache Punkte sind, deren sammtliche Tangenten nacb X x conver- 

 giren, und dass diese Gerade X 2 X 3 in einem solchen Schnittpunkte 

 m Punkte mit der Kurve gemein hat. 



Der Zustand auf X i X 3 und in X 2 ist dem oben Dargelegten 

 völlig àhnlich. 



Die Kurve in a> unterscheidet sich, nach der Vertauscbung von m 

 mit n, der Indices 3 und 4, und von [m mit 1 : [x , nur in sofern von 

 der in co* liegenden Kurve, dass jede der in A^ gelegten Tangenten 

 jetzt in ihrem Schnittpunkte mit X 2 X 4 n Punkte mit der Kurve 

 gemein hat, wâhrend die Gerade X 2 X, t in einem solchen Punkte 

 m Punkte der Kurve trâgt. Ein soldier Scbnittpunkt ist also wie- 

 derum ein w-facher Punkt, dessen Tangenten aber nunmehr alle 

 mit X 2 X 4 zusammenfallen , welche Gerade dort m Punkte mit der 

 Kurve gemein hat. 



X x und X 2 sind auf der Flache (tn -f- #) 2 -fache Punkte. Die 

 Tangenten von X x befinden sicb alle in den m -\- n Ebenen , welche 

 die axiale Regelrlache der in X x an y {JL gelegten Tangente bilden. 

 Diese Ebenen (siebe § Sb , S. 267) entsprechen der Gleichung 



1*3 & «2 -h (A**a Ai + «sa &) *J "' [f*** A, «2 + (1**1 As + ^3 Aa) a? 3 P — 



— (—!)" u, 1 " + " /3 3 w ' + n (a? 3 — }MxJ n + " = . 



