DIE CONGRUENZEN VON vo'n — c n-m w m TJND »'» W" = c»' + ». 323 



zum zvveiten Male schneidet, und als ein n{m — «)-facher Strahl zu- 

 betrachten ist, so wird die Ebene co* aufs Neue 2n(m- — n) mal 

 abgesondert. Ausserdem schneidet jede (m — #)-fache durch ein en 

 der m — n Pnnkte E T gehende Gerade den Kegelschnitt zwei- 



mal, wonach aus diesem Grunde die Ebene wiederam 2(m — nf 

 mal der Elache entzogen wird. lin ganzen wird die Ebene co* also 

 2n(m — tt) -\- 2{m — nf = 2m(m — n) mai von der Elache abgetrennt. 



Die Restfllâche ist somit vom Grade 2m' — 2m(m- — n) = 2mn. 



Es ist auf dieser Flâche y* eine rc 2 -fache Kurve. 



Die Scbnittkurve in co*, wird zu einer Eigur vom Grade 2mn 

 durch ein Ausartnngsgebilde vom Grade 2n(m — n) ergiinzt. Es 

 besteht dieses aus n(m — n) durch X x und n(m — tt) durch X 2 ge- 

 henden Geraden. Die n(m — n) durch X i (bez. X 2 ) genenden Ge- 

 raden sind alle in die in X A (bez. X.,) an y* gelegte Tangente 

 zusaininengefallen. 



Die in co liegende Kurve ist die Bildkurve des Kegelschnittes y*. 



Hire in den Coördinaten pi und p 2 geschriebene Gleichung lautet: 



h » n n 



*sP\"P-l m + *%P\ m + "1P2"' + «o = , 

 also in den Coördinaten x x , x 2 und a? 4 ausgedriickt: 



a z œ^œ™ -J- u % x™ a? 4 w -f et^w^ œ? -f- « a? 4 w = 0. . (175a) 



Es hat diese Kurve in X, einen #m-fachen Punkt, dessen Tan- 

 genten durch 



_n n. 



*3%2 m -\- *2X™= (176a) 



bestimmt und demnach zu je m mit einem der n Bilder der in 

 X ± an y* gelegten Tangente identisch sind. 



Analoges gilt von den Tangenten in X. 2 . 



Die Schnittpunkte mit X 2 X i werden durch die Gleichung 



n n »i 



geliefert. Die Gerade X 2 X i schneidet also die Kurve mn mal ini 

 mn-fa.ch.en Punkte X, und noch m mal in jedem der n Bilder M( 

 des Schnittpunktes M i von y* mit X 2 X è . 



Diese n Punkte M( sind w-fache Punkte, deren sammtliche Tan- 

 genten mit X 2 X, t zusammengefallen sind. Der Punkt M x trâgt ja 

 n 2 Strahlen, welche zu je n die Ebene co ö in den n Bildern M t ' 



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