324 DIE CONGRUENZEN VON w'" = c"-"'w"> UND w'" w>" = c>"+". 



treffen. In der Nàhe der Punkte Ml befinden sicli also n P mikte 

 der Kurve; m. a. W. diese Paukte sind rc-fache. 



Es sind auf der Flâche X, nnd A' 2 wm-fache Punkte. Von den 

 Berühmiigsebenen ini X, (bez. X 2 ) sind je m vereinigt in einer 

 der n Ebenen, welclie die in X d (bez. X 2 ) v an y*, gel egte Tangente 

 mit iliren u Bildern in <o verbinden. 



Die n Geraden, welclie den Punkt J\l x (bez. M 2 ) mit seinen n 

 verschiedenen Bildern M ± ' (bez. A/.,') verbinden, sind //-fache Geraden 

 der Flâche, deren Berührmigsebenen alle in der Ebene X 2 X 3 X 4 

 (bez. X, X 3 X 4 ) vereinigt sind. 



Der Sohnitt der Regelrlache mit einer durch X i X 2 gelegten 

 Ebene co fi ist eine Kurve vom Grade %mi , welclie in X t nnd X. 2 

 /y/«-fache Punkte hat, deren Tangenten die Spuren in co x der Bc- 

 rührungsebenen in X, und X 2 sind. 



Die Punkte, wo die Ebene (o (JL die Geraden J/, J// (bez. M. 2 M%) 

 schneidet, sind œ-fache Punkte, deren Tangenten in der Gerade 

 X 2 X t j, (bez. X 4 X,j) vereinigt sind. 



Aucli hier wollen wir die Untersuchnng der Doppelkurve un- 

 terlassen. 



§ \<db. Die Begeljtaclie der Strahlen, welclie auf einem durch 

 X, uud X, gelegten, in co x befludliclieu Kegelschuitte rit hen, in der 

 hyperbolische!! Congruenz. 



Auch hier ist einzusetzen 



fl = QO , 



wonach der Kegelschnitt y x durch die Gleichungen (173) und 

 (174) vertreten wird. 



Die Flâche ist auch hier weiter ausgeartet. 



Jede in to x durch X,, gehende Gerade schneidet ja y* zum 

 zweiten Male und zwar als ein /////-fâcher Strahl. Ebenso ist jede in 

 (o*, durch X t gehende Gerade nochmals als ///^-fâcher Strahl zu 

 rechnen. 



Ausserdem ist jede durch X 3 in co x gehende Gerade ein ///--fâcher 

 Strahl; sie schneidet y x zweimal. Die Ebene co x ist also im Gan- 

 zen abermals 2mn ~j- 2m 2 = 2m(pi -4/- n) mal abzusondern; die Rest- 

 flaclie ist somit vom Grade 2{m -\- nf — 2?n(m -f- n) = 2n(m -J- n). 



Es ist auf dieser Flâche y, x eine « 2 --fache Kurve. 



Es moge y œ die Gerade X. 2 X 3 in A/ t und die Gerade X X X S 

 in AJ 2 schneiden. 



Die Geraden M^X^ und J/ 2 X 2 sind Erzeugende der Regelrlache, 

 weil sie Punkte von y* mit ihren Bildern verbinden. Da 3 / J 1 X i 



