DIE CONGKUENZEN VON w''< = <■■>->» „■»> UND »'»«»» = «'»+». 329 



von w». An deren Stelle tritt die Gerade, welche den X 3 auf^œ 

 vorangehenden Pnnkt mit seinem Bilde vereinigt, mn-fach. gezâhlt, 

 weil jeder Strahl durch X 3 in a)«, ;//^-fach zn rechnen ist. 



Der Schnitt in to» enthàlt somit den /r-fachen Kegelschnitt y*> 

 und die «m-fache Gerade, welche X 3 verbindet rait dem Bilde des 

 X 3 auf y* vorangehenden Pnnktes. 



Die Bildkurve in co wird erinittelt, indem man in (1753) 



// 



# = einsetzt und nachher durch <r,/" teilt. Man findet alsdann 



a 



! ,/V" ~\- *> %2 m + <*3 'V = • • • • ( 1 8 20) 



Diese Kurve vom Grade ?//# geht weder durch X l5 noch durch 

 X 2 , noch durch X 4 . Sie beriihrt X 2 X 4 (bez. A', A,) in den w 

 «-fachen Punkte, deren Verbind.ungslinien rait X, (bez. X 2 ) die 

 Bilder der in X ± (bez. X 2 ) an y* gelegten Tangente sind. Diese 

 Verbindungslinien , jede rc-fach gerechnet, gehören auch dem Gesammt- 

 schnitte in <w an. 



Es sind auf der Flâche X x und X 2 nun /r-fache Punkte. Die 

 Berührungsebenen bilden jetzt nur die zweite Gruppe des allge- 

 meinen Falies (siehe S. 32 G). 



Der Schnitt der Regelflàche mit einer durch XtX 2 gelegten Ebene 

 o) lx ist jetzt eine Kurve vom Grade n(m-\~ 2»), welche sowohl in 

 X x wie in X 2 einen # 2 -fachen Pnnkt hat, Die Tangenten in diesen 

 Punkten sind die Spuren in w^ der Berührungsebenen. 



\ 22. In Beziïg auf die Regelflàche der Strahl en , welche einen 

 durch A', und X 2 gelegten, in (o befindlichen Kegelschnitt schneiden, 

 dürfen wir, für die parabolische Congruenz, auf den allgemeinen 

 Fall hinweisen, wàhrend in der hyperholiscJien Congruenz die Ergeb- 



nissc von §§ 19$, 20$ und 21$ nur durch Vertauschung von in 

 mit n und (1er Indices 3 und 4 abzuândern sind. 



§ 23. Wir wollen nunmehr eine kurze Übersicht iiber die in 

 diesem Abschnitte erhaltenen Resultate geben, und zwar so, dass 

 die Bedeutung tier Punkte X, und X 2 als Kreispunkte dabei her- 

 vortritt. 



Zuerst raöge aber betont werden , dass von den in' Strahlen , 

 welche in der parabolischen Congruenz nach einem reellen Punkte 

 zielen , nur m îeell sind , wahrend von den (m -j- nf Strahlen , welche 

 sieh in der hyperbolischen Congruenz in einem reellen Punkte 

 treffen, deren m~\-n reell sind. 



