332 DIE CONGltUENZEN VON to'" = c»->> W" UND to'" to'" = c"'+". 



Bbenso liegen bei der hyperbolische!] Congruenz , welche der 

 Beziehung 



w'"w ,n = c n, + " 



angehört , von den m -\- n einem reellen Paukte w von \_io\ ent- 

 stammenden reellen Strahlen m in \_to~\, wonach der Punkt w nur 

 mit m reellen Punkten der Ebene [«/] verblinden wird ; diese Be- 

 ziehung ordnet ja einem Werte von 10 n Werte von w' zu. Von 

 den m-\-n reellen Strahlen, welche nach einem reellen Punkte w' 

 von \_w] zielen , betinden sich n in \yo'-\ ; der Pnnkt w' wird also 

 nur mit m reellen Punkten der Ebene \w~\ vereinigt; auch dieses 

 Ei'gebniss entspricht der gegebenen algebraischen Gleichung. 



Die Samnielpunkte , welche sowohl zu gleichen Wurzeln von 

 ,A(Pi) — Q w i e zu gleichen Wurzeln von / 2 Qö 2 ) = Veranlassung 

 geben, tragen zwei zusamnienfallende Berührungsebenen an dein 

 Fokalkegel 1\ und ebenfalls zwei zusammenfallende Berührungsebenen 

 an dein Fokalkegel F 2 , sodass sie sich auf der Schnittkurve dieser 

 Fokalkegel betinden mussen. Die auf der Schnittkurve der Fokal- 

 kegel liegenden Punkte sind also als Verzweigungspunkte zu be- 

 trachten. In einem solchen Punkte werden eine gewisse Anzahl 

 von reellen Strahlen sich durch stetigen Übergang nach ihrer Coin- 

 cidenz in cine gleiche Anzahl imaginarer Strahlen verwandein, und 

 umgekehrt. 



Der Axengrad der parabolischèn und hyperbolisclien Congruenzen 

 ist die Anzahl der Schnittpunkte einer willkürlichen Gerade mit 

 der auf der axialen Regelflàche dieser Gerade liegenden Doppel- 

 kurve. 



Es sei //. der Bündelgrad, v der Feldgrad der zu betrachtenden 

 Congruenz. 



In einer durch / gelegten Ebene V liegen v Strahlen , welche / 

 in v Punkten P schueiden. Durch jeden Punkt P gehen noch 

 (fjt. — 1) andere Strahlen, welche mit / (/U — 1) Ebenen W bestim- 

 men. Der Ebene /^werden also v{\x — 1) Ebenen W zugeordnet. 

 Es liegen in einer durch / gelegten Ebene /^zwei Strahlen die sich 

 auf / schueiden , wenn eine Ebene W mit einer entsprechenden 

 Ebene V zusammenföllt. Da die Verwandtschaft (y{[x. — 1), v{fj, — 1)) 

 der Ebenen V, W 2v(/x — -1) Coincidenzen aufweist, so geschieht 

 es 2 y(//, — 1) mal, dass eine Gerade / mit zwei Strahlen zu einem 

 Strahlenbüschel gehort. 



Unter diesen "2v{yi — -1) Fiillen giebt es aber noch, welche für 

 unseren Zweck keine Bedeutung haben. 



