DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, «>'" w™ = c™+*. 341 



Der Schnitt (1er Regelflàche mit einer zu den Abbildungsebenen 

 parallelen Ebene top ist vom Grade (m -f- ?if -\- 2mn unci hat 



1° in den Kreispunkten 2mn-f&ch.e Pnnkte , deren Tangenten 

 die Sclinittlinien von co^ mit den Berührungsebenen der Kreis- 

 punkte sind; 



2° ini Schnittpunkte C lJL von co (i mit / einen (m -f- ») 2 -fachen 

 Pnnkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus I auf co tJ , der 

 (m -\- nf sich in C (J , treffenden Congruenzstrahlen sind ; 



3° im Pnnkte A 3 einen mn-fachen Pnnkt, dessen sâmmtliche 



Tangenten in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind (voraus- 

 gesetzt ist m^>n; Ansnahme in [«']); 



4° im Punkte B.[ einen sr-fachen Punkt, dessen Tangenten alle 

 zusammengefallen sind in die Schnittlinie von o) (t mit der durch 

 O' nnd / gelegten Ebene (vorausgesetzt ist w > n) ; 



5° Uoppelpunkte in den Schnittpunkten von co^ mit der Doppel- 

 kurve. 



Wenn co, z mit einer der m-\-n durch (60#) (S 23G) bestimmten 

 Ebenen zuaammenfallt, so hat die Sclmittkurve noch einen (m -\- n)- 

 fachen Punkt in der Spur Z^ von 00' in w^. 



Die axiale Regeljldche einer Gerade I , welch e 00' schneidet. 



Neben den Eigenschaften der Regelflàche der willkürlichen 

 Gerade lasst sich noch Folgendes bemerken : 



Der Punkt J 3 = JBÏ ist ein n(m -j- %)-facher Punkt. Von den 

 wn-\-n z Berührungsebenen, in welche der Tangentenkegel ausgeartet 

 ist, fallen mn mit der Ebene [«•] und ir mit der (lurch 00' und / 

 gelegten Ebene zusammen. 



Die unendlich feme Gerade hat in A Z = B£ mit der Flache 

 )ir -\- u 2 Punkte gemein. 



Die m-\-n (m -\- #)-fachen Punkte auf 00' sind jetzt in dem 

 (m -f- ») 2 -fachen Schnittpunkte S von / mit 00 vereinigt. 



Die in [w] liegende Kurve hat jetzt 



in A A = Bl einen » 2 -fachen Punkt, dessen sammtliche Tangenten 

 in AA- à = ABil zusammengefallen sind; diese Gerade hat in A 3 = B^ 

 mit der Kurve mn Punkte gemein. 



Die in [w'] befindliche Kurve hat nun 



in A â ^B 4 ' einen #m-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in 

 der unendlich fernen Gerade vereinigt sind; diese Gerade hat in 

 A 3 ^B i ' mn Punkte mit der Kurve gemein. 



Der Schnitt in einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene 

 o) {J , hat in A 3 =Bl einen n(m -j- rc)-fachen Punkt, von dessen Tan- 

 genten mn in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind und n 1 



