DIK HYPERBOLISCHE CONGRTJENZ, w'" w" = c"+". 361 



Der Schnitt in einer zit den Abbildungsebenen parallelen Ebene 

 (Op ist eine Kurve vom Grade (m -J- n){m -J-m — 2) -J- 2 mn. Uiese hat 



1° inden Kreispunkten \2mn — (m -J-#))-fache Punkte, von denen 

 min — 1) Tangenten zn je m in n — 1 Geraden nnd n(m — 1) zn 

 je n in m — -l Geraden vereinigt sind; diese Tangenten sind die 

 Schnittlinien von co^ mit den an der Flâche gelegten Berührungs- 

 ebenen; 



2° im. Schnittpunkte S :i von s mit (o^ einen (ni -J- n — l) 2 -fachen 

 Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektioncn ans s auf co lJL der 

 (in -f- n — i)' 2 nacli S ti zielenden, ausserhalb der singulàren Ebenen 

 liegenden Congruenzstrahlen sind; 



3° im Punkte S, t einen mn-fachen Punkt, dessen Tangenten, für 

 m > n , alle mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen 

 sind ; 



4° ira Punkte iS\' einen # 2 -fachen Punkt, dessen sâmmtliche Tan- 

 genten in der Schnittlinie von û) ix mit "der durch O' und s geleg- 

 ten Ebene zusammengefallen sind (vorausgesetzt ist m > n); 



5° Doppelpunkte in den Sehnittpunkten von a> lz mit der Üoppel- 

 kurve, welche auch hier von niedrigerem Grade ist als im allge- 

 meinen Ealle. Auch hier verweisen wir auf S. 291, 295. 



Die axiale Regelflàche eines in der Ebene s der reellen Axen 

 liegenden Congruenzstr aides s. 



Die Regelflàche der willkürlichen Gerade ist jetzt ausgeartet in 

 die zwei (m -J- ra)-fachen Ebenen, welche s mit den Kreispunkten 

 verbinden, in die (m -f- ;/)-fache Ebene s und in eine Restflàche, 

 welche demnach vom Grade (m -J- n) {m -J- n — 3) -j- 2mn ist. 



Auf der Restflàche ist s eine (m -J- n — l)(i/i -\-n — 2)-fache Gerade. 



Die Kreispunkte sind \2mn — (m -J- n)\ -fâche Punkte; für ihre 

 Beriihrungsebenen verweisen wir auf die vorige Regelflàche. 



Der Punkt O ist ein n{m — l)-facher Punkt, dessen Beriihrungs- 

 ebenen aile in \io\ vereinigt sind. 



Der Punkt ist ein min — l)-facher Punkt, dessen Tangenten 

 sich alle in \w'~\ berinden. 



Der Punkt B(= S 3 =iS^) ist ein (m -f- n) (n — l)-faeher; von seinen 

 Beriihrungsebenen sind m(n — 1) in [ir\ und nin — 1) in s ver- 

 einigt. 



Der Schuit tpunkt iS von s mit O O' ist ein (m -J- n — l)(/i/~\-n—2)- 

 facher Punkt. 



Die Doppelkurve ist von noch niedrigerem Grade als im vorigen 

 Falie (Siehe S. 297, 299). 



Der Schnitt in [w] besteht aus den m(n — l)-fachen, durch die 



