DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w'« w"> = c'"+». 3() ( J 



Die Begelflàehe der Strahlen, welche auf einem 2?<5 den Abbil- 

 dungsebenen parallelen Kreise ruhen. 



Die Regelflache eines vvillkürlichen Kegelschnittes ist vom Grade 

 2(m -\- n) 2 -f- 4mn. 



Dieser Flàche wird hier 2mn mal die Ebene [«?] nnd 2mn mal 

 die Ebene [w'J entzogen. Die Restflâche ist daher vom Grade 

 2(m -f ») 2 . 



Auf dieser Flàche ist der Kreis selbst eine (w -j- w) 2 -fache Kurve. 



Die Kreispunkte sind (m -f- «) 2 -fache ; in jedem dieser Punkte 

 sind von den Berührungsebenen je m -\- n vereinigt in einer der 

 m -\- n Ebenen, welche die axiale Regelflâche der im Kreispunkte 

 an den Kreis gelegten Tangente, d. h. der (lurch den Mittelpunkt 

 des Kreises gehenden isotropen Gerade, bilden. 



Der Schnitt in \w] ist ausgeartet in die w-fachen Spuren (1er 

 Berührungsebenen in den Kreispunkten und in eine Kurve vom 

 Grade 2n(m -j- n). 



Die Kreispunkte sind n{m -\~ ^)-fache; von ihren Tangenten sind 

 je n mit einem (1er m -j- n genannten Ausartungselementen zu- 

 samm engef allen ; jede dieser Geraden liât in einem Kreispunkte 

 n(m -\- n -\- 1) Punkte mit (1er Kurve gemein. 



Die Schnittpunkte (1er m -\- n (lurch den Kreispunkt I gehenden 

 Ausartungselementen mit der isotropen Gerade OJ sind w-fache 

 Punkte der Kurve; ihre Tangenten fallen ebenfalls mit den ge- 

 nannten Ausartungselementen zusammen, welche in diesen Berüh- 

 rungspunkten m Punkte mit der Kurve gemein haben. 



Analoge Betrachtuugen geiten in Bezug auf die Schnittpunkte 

 der durch / gelegten Ausartungselementen mit 01. 



Der Schnitt in \_w'~\ wird am leichtesten ermittelt, indem wir in 

 den Ergebnissen des in [tv] befindliehen Schnittes die Zahlen m 

 und n und die Abbildiingsebenen [to] und [«>'] vertauschen. Die 

 Schnittpunkte mit O'J sind jetzt «-fâche Punkte ; ihre Tangenten 

 sind mit O'J vereinigt, welche in jenen Punkten m Punkte mit 

 (1er Kurve gemein hat. 



Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene 

 co v ist eine Kurve vom Grade 2{ni -\- n) 2 , welche in den Kreis- 

 punkten (m -\- ?*) 2 -fache Punkte hat, wàhrend die Tangenten die 

 Schnittlinien von o) v mit den Berührungsebenen der Kreispunkte sind. 



Die Begelflàehe der Strahlen , welche auf einem zu den Abbildungs- 

 ebenen parallelen Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt auf 00' liegt. 



Die Abweichungen dieser Re^elrlàche von der vorigen sind nicht 

 von wesentlicher Bedeutung. 



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