DIE CONGRUENZEN VON w' = r2» 3 , »'9=<r-i|p» UNI) m>' = c 3«>-2. 387 



Die Gleichung (30a) (oder (31a)) bestimmt die 3 auf / liegen- 

 den Doppelpunkte der Doppelkurve. Die Doppelkurve hat somit 

 2 X 3 4- l = 7 Punkte mit / gemein. 



Jede (lurch / gelegte Ebene liefert noch 3 ausserhalb / liegende 

 Punkte dieser Kurve. Der Grad der Doppelkurve ist deranach 

 7 + 3 = 10. 



Auf der axialen Regelflàche einer in der Ebene s der reellen 

 Axen befindliehen Gereide liegt eine Doppelkurve 10 len Grades. 



§ 7. Die axiale Regelflàche einer in der Ebene der reellen A, ren 

 lier/enden Gerade, welclie durci/ O geltt. 



Der Unterschied mit der vorhergehenden Regelflàche ist dieser, 

 dass der Schnitt in \_w'~\ jetzt in eine 3-fache Kurve 3 ten Grades 

 zerfallen ist. Dièse vertritt also einen Bestandteil 9 ten Grades der 

 Doppelkurve. Der übrige lineare Teil ist mit der zu [w\ gehorenden 

 imaginàren Axe zusannnengefallen. Aile Sclmittpnnkte von / mit 

 der Doppelkurve sind ja, vermöge (29a) und (31a), im Punkte O 

 vereinigt. 



Ausserdem ist der Strahl OU', d. h. die in [«?] liegende imagi- 

 nâre Axe, ein 2-facher, wonach auch E' der Doppelkurve angehört. 



Die Gleichung der in [w] liegenden Kurve ist 



x x x. 2 {ii\ -f- x. 2 ) -j- b' a? 3 3 = (32a) 



Die Kreispunkte und der unendlich fern e Punkt der imaginàren 

 Axe sind Wendepunkte , deren Tangenten alle in O convergiren, 

 Die 3-fache in [w] befindliche kubische Kurve wird durcli 



&+^u 2 :{ -&+^)g 1 3 ,. 



also durch 



**!,& + & + *'&" + *i& + ^4== . . (33a) 



dargestellt. 



Sie enthàlt die Kreispunkte und den unendlich fernen Punkt 

 der imaginàren Axe ; die isotropen Asymptoten treffen sich in O'. 



Der Punkt B' ist ein Doppelpunkt, dessen Tangenten durch 



e, a + « 1 « B + « B " = (34a) 



bestimmt sind. 

 Die Tangeni 

 geht durch den auf der reellen Axe liegenden Punkt T 



Die Tangente des unendlich fernen Punktes der imaginàren Axe 



B 25* 



