DIE CONGRUENZEN VON w' = c-2 w*, w'*=c-*wS UND w' = c*w-*. 391 



c \ = = l) >c 2 = -\-y r^ , c 3 = - - 1/ — /*. 



Die 9 nach X^ zielenden Strahlen sind also bestimmt (lurch 



1° 



1/^1 = 



ta = 





2 C 



ft - 

 \p 2 = 



= C 1 



y 



= C 2 



3° 



\P\ = 





4 C 



ft = 

 ta = 



= r 2 



5 C 



\Pi 

 Ift 



= 



C 2 

 C 2 





fi° 



(ft 



= 



C KV 



\P\ 



= 



Cs ,8° 



[ft 



= 



* 



[ft 



= 



C 3 











!j»2 



= 



C 3 



\P2 



= 



c l 



Ift 



— 



C 2 



Ift 



= 



C 3 







Es leuehtet ein, dass sovvohl die Combination (2°, 7°) wie die 

 Combination (3°, 4°) der Bedingung (41a) genügt. 

 Man hat fiir (2°, 7") 



Pi--P2 = 2i--92= - A = ■ - V —P> aIso A = "t- V ^ 

 und fiir (3°, 4") 



ft --P2 = 2i-- 92 = -- x = J r V zr ï*, also À = ~ ~ V -V- 



Der Punkt X fi ersclieint somit als ein Doppelpunkt der Doppelkurve. 



Jede durch l fi gelegte Ebene, schneidet [tr] in einer Gerade des 

 Strahlenbüschels (A 7 ), also in einem Congruenzstrahle. 



Diese Ebeue enthalt also noch 2 andere Congruenzstrahlen, welche 

 sicli in einem Punkte der Doppelkurve schneiden. 



Die Schnittpunkte in [iv~\ dürfen nicht in Betracht gezogen werden, 

 da die Ebene [tv] schon der totalen axialen Regelflàche entzogen ist. 



Eine durch l tJL gelegte Ebene enthalt also ausserhalb l fi einen 

 gewöhnlichen Punkt und auf / lz einen Doppelpunkt der Doppel- 

 kurve ; diese ist also eine kubische Kurve mit einem Doppelpunkte, 

 also eine kitbische Plankurve. 



Eine leichte Rechnung zeigt, dass diese Plankurve sich in der 

 Ebene der imaginaren Axen betindet. 



§ 10. JJie asnale Regelflàche eines Congruenzstrakles s. 



Die Restflàche ist vom ü ten Grade. 



Der Strahl s ist auf seiner Regelflàche eine 4 -fâche Gerade. 



Die Kreispunkte gehören nun der Regelflàche nicht an. 



Die Punkte E und E' sind gewöhnliche, deren Berührungsebenen 

 in die Ebene [w] zusammengefallen sind. 



Der Schnitt in [tv] ist ausgeartet in die beiden 2-fachen 

 reellen und imaginaren Axen und in einen Kegelschnitt , dessen 

 Gleichung ist : 



