402 DIE CONGRUENZEN VON w' = c~^w s , ?o' 2 = c-Uo <i UND w'=c i io~^. 



§ 18. Die Regelfldclte der Stra/ilen, welche au f einem < in "der Ab- 

 bi/d/tnf/sebene [to] liegenden Kreise rt/Jien. 



Die vorhei'gehende Regelflache zerfàllt jetzt in 1 2 mal die Ab- 

 bildnngsebene [w] und in eine Eliiche 6 te " Grades. 



Ant' dieser Restfliiche ist der Kreis eine èinfache Knrve. 



Wir liaben nnr im Vorigen fx = zn setzen, und finden alsdann 

 fur die Gleichungen des Kreises 



x,= 0. I . (84) 



Der Schnitt in [to] l)esteht nun, ausser dem Kreise, aus seinen 

 isotropen Tangenten, jede doppelt gezahlt. 



Die in [w'~\ liegende Bildkurve des Kreises in [to] hat nun die 

 Gleichung 



1 i_ _L A. 1 i_ A 



*3 ^l 3 «a* + «2 X \ X l + «1 «a" *4 3 + «0 «I? = > • ( 8 5 W) 



oder 



{ccia\x. 2 -\- c^ Xi x k -\- CL?x,x ti -f- <z 3 ,r 4 2 ) 3 — 

 —.27 (a, cc, — oi a.jf xy x 2 a? 4 2 \{ca a,., — cc () « 3 ) (cc.f x x x., -j- <* 3 a? 4 2 ) -j- 

 -(- cc ü a ó (<x 3 3 a?! a? 2 -j- # .ƒ ^ a? 4 -f ct? a? 2 a? 4 -f- a ;i a? 4 2 ) ) = 0. (86a) 



Die Kreispunkte sind 3-fache ; ihre Tangenten sind in den ein- 

 zigen Bildern der isotropen Tangenten des Kreises vereinigt. 



Die in \w'~\ liegende Kurve schneidet die isotrope Gerade O'J 

 3 mal im 3-fachen Punkte / und noch 3 mal im Bilde M/ des 

 Punktes M x , wo der gegebene Kreis die Gerade OJ schneidet. 

 Der Punkt M x ' ist ein Wendepunkt, mit Ml J= OJ als Tangente. 

 Analoges gilt für M.{. 



Auf der Flache sind die Kreispunkte 3-fache ; die Berührungs- 

 ebenen in I (bez. J) sind alle 3 zusammengefallen in die Ebene , 

 welche die isotrope Tangente des gegebenen Kreises mit ihrein 

 Bilde verbin det. 



Die Geraden M x Ml und M 2 Ml sind Inflexionskanten , mit den 

 durch OO' gelegten isotropen Ebenen als Berührungsebenen. 



Der Schnitt der Regelflache mit einer zu den Abbildungsebenen 

 parallelen Ebene w IM ist eine tricirculare Kurve G ten Grades. Die 

 Schnittpunkte von o)^ mit den Geraden M x Ml und M 2 Ml sind 

 Wendepunkte. 



