DIE CONGRUENZEN VON w' = c-*w*, w'* = c-*wS UND w' = cho~\ 423 



Wir wollen uns jetzt mit der Doppelkurve beschàftigen. 

 Die Gleichungen s 1 (7r i ) = und * 2 ( T ) = vom § IV. Abschnitte 

 (§ 12«, S. 291) haben hier diese Form: 



s i (r 4 ) es < 2 -f (3 s t — ft 2 ) v x -j- (3 si + 2 p^ 2 ) = , (475) 



3 



s 2 (t 2 ) = t.? -f (3 s, — // 2 ) ît 2 -f (3 s 2 2 -f 2 ^/) = 0. (485) 



Uie Schnittpunkte von s mit der Doppelkurve werden (siehe 

 S 221, 393) durch die Gleichuiig 



fa H" C \f C 2 C l' C l C \ ( C 2 + C'lY = 



Vermöge (475) und (485) giebt es also die folgende Bediugung : 



Il II 



l" [2 fa -f s t 2 si -f s,) /a 4 + 3 fa + 6',) fa 2 -f 6'./) /^ 3 — 



11 il 



— 1 2 ó'i s., /-r — 1 8 ^ 6-, fa 2 + si) ix — 1 S s, 2 5 2 2 ] = Ü . (4 95) 



Ausser dem Schnittpunkte /S' von s mit [w] , welcher durch p = 

 bestimmt wild, betinden sich auf s noch 4 andere Punkte der 

 Doppelkurve. 



Wie bei der vorigen Congruenz lasst sich hier zeigen dass die 

 beiden Brennpunkte von s ebenfalls der Doppelkurve angehören. 

 Es triigt s also ini Ganzen 7 Punkte der Doppelkurve; da jede 

 durch s gelegte Ebene ausser s noch 5 andere Congruenzstrahlen 

 tragt, welche sich in 10 Punkten schneiden, so enthalt eine solche 

 Ebene im Ganzen 7 -f- 10 = 1 7 Punkte der Doppelkurve. Daher-. 



Auf der axialen Regelflàche eines Congruenzstrahles liegt eine 

 Doppelkurve 17 k " Grades, welche s in 7 Punk f en tri [ft. 



§ 11. Die axiale Uegelflàche eines in der Ebene der reel len Axen 

 lief/enden Congruenzstrahles s. 



Die Regelflàche ist vom O'" Grade und triigt s als eine Dop- 

 pelgerade. 



Die Kreispunkte sind 3-fache. 



Der unendlicli terne Punkt E der reellen Axe gehort dei' Flache 

 nicht an. 



Es ist 00' eine Doppelgera.de ; sàmmtliche Berührungsebenen sind 

 in der Ebene der reellen Axen vereinigt (Ausnahme in [ir']). 



Der Schnitt mit [to] besteht aus den einfachen durch die Spur 

 S von s in [w] gehenden isotropen Geraden und aus einer Kurve 

 4 U " Grades, welche diese Gleichung hat: 



