444 .DIE CONGRUENZEN VON w' = c-*w s , w'* = cr-iwS UND w' = c s w-^. 



Der Punkt L lJL ist ein 9-facher, von dessen Berührungsebenen 

 4 mit der durch l (i und O gelegten Ebene , eine mit der durch 

 l (i und O' gelegten Ebene, und 4 mit der Ebene a) {jL zusammen- 

 fallen. 



Die Punkte O und O' sind beide Doppelpunkte , deren Ver- 

 halten nicht von dem auf der allgemeinen Regelfliiche abweicht. 



Wenn l^ den Kreispunkt I(X^ enthalt, wonach st i = , so 

 besteht die axiale Regelflàche aus den zweifachen Abbildnngsebenen 

 [w] und [«/] und aus den 3 dreifachen durch l iJL an den Fokal- 

 cylinder I\ gelegten Berührungsebenen. Letztere werden durch 



(«2*2 + (P*3 + a 4X) 2 1/^2*2 + 0*3 + «O^s] + «^(«S.— /W =0(2 2c) 



dargestellt. 



§ 5. Z)/c axiale Regelflàche ei tier zu den Abbildnngsebenen paral- 

 leled. Gerade 1 {J , , welch e 00' schneidet. 

 Man hat hier 



[Md 3 — |— <as 4 = 0. 



Die in [io\ liegende Kurve hat nun die Gleichung 



cc. 2 x^x^ -\- « i as^w 3 3 -(- ^{ct^Xi -f- a, 2 x 2 )x^x. 2 = 0. . (24c) 



Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in 

 O treffen . 



Der Punkt L fJL ist ein Wendepunkt, dessen Tangente ebenfalls 

 durch O geht. 



Der Punkt O ist ein Doppelpunkt , dessen Tangenten die Bil- 

 der der durch O' zu l lM parallel verlaufenden Gerade O'L^ sind. 



Die in [«?'] befindliche Kurve wird jetzt durch 



^ l cc 2 x l x£^ixra..{-x. } x* — {pC\X\ -f- & i x-ïfx. { x i ~f — 4/^ 4 ^ l 2 <a; 2 2 ^ 1 cr 2 ci' 4 6 = (25c) 



dargestellt. 



Das einzige Neue ist hier, dass die Tangenten des 4-fachen Punktes 

 L lJL auch alle durch O' gehen. 



Auf der Regelflàche is L^ wiederum ein 9-facher Punkt; es sind 

 jetzt 5 Berührungsebenen mit der durch l {i und O gelegten Ebene 

 und 4 mit der Ebene co (Ji z usa mmengef allen. 



§ 6. Die axiale Regelflàche einer in der Ebene der ree Hen Axen 

 Hegenden Gerade l. 



