448 DIE CONGRUENZEN VON w' = o-* w 3 , w ,n ~ = c-* w* TJND to' = c 3 «r-2. 



/ 2 einfache und 4 Doppelpunkte der Doppelkurve liegen, welche 

 also zusammen 10 gewöhnliche Punkte vertreten. Da ferner jede 

 durch / gelegte Ebene noch 6 gewöhnliche Punkte der Doppel- 

 kurve trâgt, so ist der Grad dieser Kurve 1 — [— 6 = 1 6. Also: 



Avf der axialen RegelflàcJie einer in der Ebene s befindlichen 

 Gereide liegt eine Doppelkurve 16 te " Grades. 



§ 7. Die axiale Regelflöche einer in der Ebene der reellen Axen 

 liegenden Gerade, welcJie durch O ge// f. 



Von der vorhergehenden Regelflàche wird nun 2 mal die Ebene 

 \w~] abgetrennt, wonach wir eine Elàche 8 ten Grades erübrigen. 



Die Kreispunkte sind jetzt Doppelpunkte ; ihre Berührungsebe- 

 nen werden durch (8'c) und (9'c) angewiesen. 



Die Gerade 00' schneidet die Flàche 6 mal im Punkte O und 

 elnmal in den beiden Schnittpunkten X e der Tangenten , welche 

 man in den ausserhalb des Wendepunktes O liegenden Schnitt- 

 punkten von / mit der kubischen Fokalkurve an letztere legen kann. 



Der Schnitt in [w] besteht aus der Kurve 4 ten Grades, deren 

 Gleichung lautet : 



oder 



b' x? x£ — (xf -f- x x x 2 -\- %ï)x£ = . . . (32c) 



und aus ihren im Doppelpunkte O gelegten Tangenten 



x{~ -f- x { x 2 -\- x.? = , 



jede 2-fach gerechnet. 



Der Schnitt in [•«/] besteht aus den 2-fachen durch B' genenden 

 isotropen Geraden und aus dein 2-fachen Kegelschnitte, welcher durch 



(x i — b' x^f Xi — (x 2 — b' Xif x 2 



a?j x 2 

 oder 



Xi~ -\- x\ x., -\- x 2 — 2 b' {x A -\- x.,)x\ -\- b" 2 xf = . (33c) 



dargestellt wird. 



Dieser schneidet die unendlich ferne Gerade in den namlichen 

 Punkten wie die sineularen Ebenen 



x. 



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