46 S FUNKT10NEN, WELCHE MIT PARA.BOLISCHEN UND 



treten worden, welche (lurch dièse Gleichnng in den Cartcsischen 

 Coördinaten w, w' dargestellt wird; dièse Kurve wollen wir als das 

 Diagram von q>(w, w') = bezeichnen. 



Wir können . alsdann Folgendes behaupten : 



Das Diagram von <p (w, w') = wird aks dein Diagram von 

 cp (w, w') = durci eine projective Transformation hergeleitet, bei der 

 die unendlich fernen Gebilde im Unendlichen bleiben. 



Von dieser affinen Transformation bildet die Verschiebung nebst 

 Drehung einen besonderen Fall. In diesem Falie ist namlich 



a = cos , b = — sin , 

 d = sin , b' = cos 0. 



Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt werden , so setzen wir 



a = prcoêd , b = — pr' sin , c = pX, i , -. 



a = p r s/n v , b = p r cos Q , c = p A . ) 



Durch die Substitution dieser Ausdrücke in (14) gestaltet letztere 

 sich in 



9 (w, w) ^ qp [p {rib cos — r'w'sin -|- A), p' (rw sin -\~ r'To cos -\- A')], 



wonach 



id = p (rw cos ■ — ■ r'w'sin -j- A) , | 

 w' = p'(rw sin -\- r'To cos -j- A'). ) 



Der Übergang vom Diagram von g (w, w') = zum Diagram 

 von 9(w, w') besteht also zuerst in einer Verkleinerung der Coör- 

 dinaten w und w bez. im Verhiiltniss 1 : p und 1 : p', sodann in 

 einer Verschiebung (A , A') und einer Drehung urn , und schliess- 

 lich in einer Verkleinerung der zulefet erhaltenen Coördinaten bez. 

 im Verhaltniss 1 : ;• und 1 : r'. 



Dies sind die Operationen , welche ein gegebenes Diagram in ein 

 anderes uniformen, das derselben StrahJencongruenz entspricht. 



In den Beziehungen (13) sind alle Grossen cc, a, y , y', ê und 

 è' reell gedacht, wonach auch a, a', b, b', c und c' reell sind. 



Umgekehrt : setzen wir p , p', A , A', r , r' und als reell vor- 

 aus , so werden auch a, b, c, a', b' und c' reell sein; da ferner 

 die Gleichungen (13) in a, cc, y, y' , § und S' linear sind, so 

 werden auch diese Grossen réelle Werte bekommcn. 



Wir schliessen , dass jede réelle Transformation (1G) durch réelle 

 Ope rati onen mit den Abbihbi ngsebenen und den in cliesen befindlichen 

 Kurven dargestellt toerden kann. 



