HYPERBOLISCH EN CONGllUENZEN ZÜSAMMKNHANGEN. 469 



Damit die Operatioiien mit den Abbildungsebenen und den 

 in diesen befindlichen Kurven reell seien, genügt es, dass cc und cc 

 veell sind. Wenn y und y' complex sind, so bedentct dies, dass 

 eine durch den Punkt w bez. w' beschriebene Kurve nebst ihrer 

 ahnlichen Vergrösserung noch eine Drehung erfâbrt, wàhrend com- 

 plexe Werte von è und è' einer zu der Axe der reellen Zahlen 

 mc^-parallelen Verscliiebung entsprechen. 



Wir sind also irn Stan de mit einer Strahlencongruenz Operati- 

 oiien zu bewerkstelligen , vvelche iniaginiircn Transformationen des 

 Diagrams entsprechen (z. B. die Multiplikation einer Coordinate mit 

 einem imaginâren Paktor). Diese Eigenschaft ermöglicht uns ans 

 dein Diagram ein anderes herznleiten, welches zwar in rein geome- 

 trischer , nicht aber in metrischer Hinsicht dem nrsprünglichen 

 Diagram verwandt ist. 



Betrachten wir z. B. die Ellipse und die Hyperbel, welche, auf 

 ihren Axen bezogen , durch die Gleichungen 



9 9 9 9 



x- . ir , , x y n 

 -+£ = 1 und ~— J ~= 1 

 er Ir a 6- 



dargestellt werden. Es erhellt, dass wir die Ordinaten der Ellipse 

 uur mit j/ — 1 zu mnltipliciren haben , um die Hyperbel zu 

 erhalten. 



Dieses Verfahren wird aber jetzt ausser Betracht bleiben , weil 

 die Anwendung dieses Prinzips für jede Art von Kurven eine 

 andere ist. 



§ 3. Die Gleichung <i (/c ,/>•') = kann noch weitere Umstal- 

 tungen erfahren , ohne dass die Strahlencongruenzen aufhören ihre 

 Dienste zu leisten. 



Zuerst bemerken wir , dass die Coördinaten w und Tv' durch ge- 

 wisse Funktionen 



w = ƒ (»i) , 



~v = ƒ"("'/) 



in Coördinaten ir { und u\ übergeführt werden kennen. 

 Wenn w und w' der Beziehung 



~i> (20 i ïö') = <ƒ' {air -\- bw' -\- c , a'w-\~ b'ïo -\- c) = 



genügen , so werden w^ und w( durch die Beziehung 



