HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENIIANGEN. 471 



tueller Umstaltung, die Bahn [«?'] von w' . Diese Bahn wird 

 schliesslich mittels der Congruenz ty' (w, w) = in die Bahn [/r,'| 

 von w ± ' umgeformt. Die zulctzt erhaltene Bahn ist sodann die 

 Bildkurve der Bahn [w,] von % in der eonfonnen Abbildnng der 

 Funktion ^ïC^i, «O = 0. 



Es leuehtet ein , dass wir in dieser Weise mit Hülfe immer 

 neuer Congruenzen fortfahren können. 



Das schwierige ist hierbei die gegebene Funktion vp, (/r, , u\') = 

 so zu zerlegen , dass sie die Anvvendung von Strahleneongruenzen 

 einfacher Funktionen ermöglicht. 



§ 4. lm Folgenden wird uur von parabolische/i und hyperboliscJien 

 Congruenzen die Rede sein ; sie gehören , wie wir ersahen , den 

 Funktionen 



m 

 to = II) 



und 



m, 

 W = 10 



an. 



Es wird sich zeigen dass wir mit Tlülfe dieser Congruenzen die 

 eonfonnen Abbildungen einer ziemlich ausgedehnten Gruppe von 

 Funktionen zu ermitteln im Stande sind. 



Wenn wir zuerst den allgemeinen Fall des vorigen \ ins Auge 

 fasse n , so sind , falls nur parabolische Congruenzen in Betracht 

 kommen , den Funktionen v{/ , \J/ und qp die folgenden Gestalten 

 zu verleihen 



"\> (w, w') = w m — 'io' " = , 

 $\w,w) = w mJ —w n '= 0, 

 qp (to, to') = w M — w' s = 0. 



Wir setzen voraus, dass immer die Bedingungen 



m > n , m' ^> n' , M > N 



erfüllt sind. 



Indem wir den Funktionen vp , \J/ und qp in (18) und (19) die 

 obigen Formen erteilen , tinden wir 



ƒ (w, w) = (a i io l -f- Uw -j- a ) m -- (b { w t -\- Fw -(- ô ) n = 0, (21) 



f{wl,w')= (fliV+ aw+aX'— (3.VH- 2V-I- V) n '= , (22) 

 F(w, w) = (aw-\-öw-\- c) M — (a w -\- b' w -f c') N = 0. (23) 



