HYPERBOLISCH EN GONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 475 



n m — n 



p.; w. 2 -f- pi a? 5 = {qï x 2 -f ^> 4 + q-' ,r r y"' x :> '"' , 



N 1/-.V 



M m M 



P*^-- J 3 :, 0B- a = ( ô 3 a? 3 - - Ô4 a? 4 - - Q 5 x 5 ) M x 5 



n m — n 



Es erhellt, dass p 2 x 2 verschwindend klein wird wie ql m ' x 7) '"' , 



N M- N 



und dass P g a? 3 sich der Null nàhert wie Q 4 JM 'x 5 M . Die Elimina- 

 tion von x-, ans 



n m — 11 



Pi x 2 — q^ <2?5 



und 



N M- N 



i 

 3 (t-3 <a£, 4 



-^3^3 ^*4* #r> 



ergiebt alsdann eine Beziehung zwischen x 2 und x 3 , welche zu 

 betrachten ist als die Darstellnng der Projektion der Raumkurve 

 auf a?= = in der Nahe von X. Die erwahnte Elimination liefert 



M N M 



'm'—n' „ 1 m' — n' „ m' — n' Tt M— X r\ M—N„, M— X 



.. 'm'—n' „ ' m' — n' „ m'—n' ~p AI—N f\ 



Pi y 4 x ï r i **< 



'1 



(■/'■; 



oder 



„ 'nï(M-N) n N(m'-n') „ m'{M-N) 7j M(m'-n') „ 'n'(Jf-iV) „ M(m'-n') 



Pi **4 «•2 -*3 y 4 :! 



Es ist jetzt die Erage, welche von den Exponenten m' (M — N) 

 und M{iri — ri) der grössere ist; wir gelangen also zu zweiEàllen. 



A. m'N > Mri , wonach m\M — N) < M(m' — ri). 



Der Punkt X 4 ist ein m {M — iV)-facher mit x 2 = als Tangente. 



Auf der Raumkurve ist X 4 sodann ebenfalls ein m' {M — N)- 

 facher Punkt. 



Die beiden Ràume ƒ' = und F = durchbohren sich in einer 

 Elàche, welche die Gerade XjX 4 als eine m' {M— iV)-fache Gerade tràgt. 



Betrachten wir jetzt den Schuitt des Raumes ƒ = mit de m 

 Raume x i = (welcher nicht ein Berilhrungsraum ist), so fin den wir 

 fur die Schnittflache 



Cft*s + ft «s)™ — (yV^'3 + q 5 x 5 ) n œ 5 m - n = ; 



dièse Flàche besteht also ans m dnrch die Gerade X 2 X 4 gelegten 

 Ebenen, deren keine die Raumkurve berührt, weil œ. 2 = die 

 einzige Tangente in X 4 ist. 



Jede der m Ebenen hat in X k m\M — N) Punkte mit der Raum- 

 kurve gemein. Der Punkt X 4 ist also im Ganzen als ein mm\M — N)- 



